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第 1 章行列式1.3 n阶行列式

答案与解析

1.3 n阶行列式

答案与解析.md

练习题

对应题目：练习题.md

例 1

将每个乘积按照行指标 $1,2,3,4,5$ 的顺序重排，考察列指标排列的逆序数：

\begin{array}{c|c|c|c} \text{小题}&\text{列指标排列}&\text{逆序数}&\text{符号}\\ \hline (1)&4\,3\,5\,1\,2&7&-\\ (2)&3\,4\,2\,5\,1&6&+\\ (3)&5\,4\,1\,3\,2&8&+ \end{array}

因此答案依次为

\boxed{(1)\ -,\qquad(2)\ +,\qquad(3)\ +}.

例 2

列指标 $5,k,6,i,1,2$ 必须恰好构成 $1,2,\ldots,6$ 的一个排列，因此

\{k,i\}=\{3,4\}.

若 $(k,i)=(3,4)$ ，排列 $5\,3\,6\,4\,1\,2$ 的逆序数为 $11$ ，是奇排列；若 $(k,i)=(4,3)$ ，逆序数为 $12$ ，是偶排列。题设要求该项带负号，故

\boxed{k=3,\qquad i=4}.

例 3

行列式中只有一个可能非零的展开项，其列指标排列为 $3\,4\,2\,1$ 。该排列有 $5$ 个逆序，因此

D=(-1)^5(1\cdot2\cdot3\cdot4) =\boxed{-24}.

例 4

要得到 $x^4$ ，必须从四行中各取一个含 $x$ 的元素，同时所取元素位于不同列。唯一选择为

(2x)\cdot x\cdot x\cdot(3x),

对应列指标排列 $1\,3\,2\,4$ ，它是奇排列。因此 $x^4$ 的系数为

\boxed{-2\cdot1\cdot1\cdot3=-6}.

例 5

第 $3,4,5$ 行的非零元素都只能位于前两列。行列式展开式的任意一项必须从每一行、每一列各取一个元素，但三行无法同时从仅有的两列中选取互不冲突的元素。

所以每一个展开项都至少含有一个零因子，从而

\boxed{D=0}.

原始课程材料

课堂截图

6 张

概念板书-四阶行列式.png

例01-判断五阶行列式项的符号.png

例02-由负项确定下标.png

例03-稀疏四阶行列式.png

例04-求行列式多项式中x四次项系数.png

例05-证明五阶行列式为零.png

例 1

将每个乘积按照行指标

1,2,3,4,5

的顺序重排，考察列指标排列的逆序数：

\begin{array}{c|c|c|c} \text{小题}&\text{列指标排列}&\text{逆序数}&\text{符号}\\ \hline (1)&4\,3\,5\,1\,2&7&-\\ (2)&3\,4\,2\,5\,1&6&+\\ (3)&5\,4\,1\,3\,2&8&+ \end{array}

因此答案依次为

\boxed{(1)\ -,\qquad(2)\ +,\qquad(3)\ +}.

例 2

列指标

5,k,6,i,1,2

必须恰好构成

1,2,\ldots,6

的一个排列，因此

\{k,i\}=\{3,4\}.

若

(k,i)=(3,4)

，排列

5\,3\,6\,4\,1\,2

的逆序数为

11

，是奇排列；若

(k,i)=(4,3)

，逆序数为

12

，是偶排列。题设要求该项带负号，故

\boxed{k=3,\qquad i=4}.

例 4

要得到

x^4

，必须从四行中各取一个含

x

的元素，同时所取元素位于不同列。唯一选择为

(2x)\cdot x\cdot x\cdot(3x),

对应列指标排列

1\,3\,2\,4

，它是奇排列。因此

x^4

的系数为

\boxed{-2\cdot1\cdot1\cdot3=-6}.

例 5

第

3,4,5

行的非零元素都只能位于前两列。行列式展开式的任意一项必须从每一行、每一列各取一个元素，但三行无法同时从仅有的两列中选取互不冲突的元素。

所以每一个展开项都至少含有一个零因子，从而

\boxed{D=0}.