来源：宋浩《线性代数》教学视频 2.0 版 P17“2.8 逆矩阵1”。截图按视频时间点整理，点击截图可以回到对应讲解。

1. 逆矩阵的定义：不是矩阵除法

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设 $A$ 是 $n$ 阶方阵。如果存在 $n$ 阶方阵 $B$，使

则称 $A$ 可逆，称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $B=A^{-1}$。

要点：

• 只有方阵才讨论可逆性；
• $AB=BA=E$ 中的 $E$ 是同阶单位矩阵；
• $A^{-1}$ 不是“把矩阵每个元素取倒数”，也不是普通的除法。

2. 不是所有方阵都有逆矩阵

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零矩阵不可能有逆矩阵，因为 $0B=0\ne E$。视频中还用

说明：即使设 $B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，乘积 $AB$ 的第二行仍为零行，不可能等于 $E$。

因此，方阵分为可逆矩阵和不可逆矩阵；非方阵不称“不可逆”，而是没有资格讨论可逆性。

3. 逆矩阵唯一；奇异与非奇异

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如果 $A$ 有两个逆矩阵 $B_1,B_2$，则

所以逆矩阵一旦存在就唯一。

称 $|A|\ne0$ 的方阵为非奇异矩阵，称 $|A|=0$ 的方阵为奇异矩阵。这两个术语可以记住，但做题时更常用“可逆/不可逆”。

4. 可逆的充要条件与伴随矩阵法

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核心定理：

当 $A$ 可逆时，

这里 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。上一节已经学过 $AA^*=A^*A=|A|E$，所以当 $|A|\ne0$ 时，两边同乘 $1/|A|$ 就得到逆矩阵定义。

5. 例题：用伴随矩阵法求逆

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题型：先算 $|A|$ 判断可逆；若可逆，再求 $A^*$，最后代入

视频强调：伴随矩阵法适合说明公式和做小阶数示例；真正大量求逆时，后续会优先使用初等行变换法。

6. 快速判断不可逆与对角矩阵求逆

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如果行列式为零，矩阵不可逆。特别是发现两行（列）成比例时，可以直接得到 $|A|=0$，无需完整展开。

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对角矩阵

可逆当且仅当每个对角元都不为零：

并且

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注意：这个“逐个取倒数”只适用于对角矩阵这类特殊结构，不能推广到一般矩阵。

7. 单侧逆就足以推出可逆

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若 $A,B$ 为同阶方阵，且

则 $A$ 可逆且 $A^{-1}=B$；同理，若 $BA=E$，也有 $A^{-1}=B$。

这个推论比定义更适合做题，因为只需验证一边。易错点是：没有证明可逆性之前，不能随意在等式两边乘 $A^{-1}$。

8. 用恒等式构造逆矩阵

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若能整理出

就可以直接由单侧逆推论得到 $(A+2E)^{-1}=C$。

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当题目给出关于 $A$ 的多项式关系时，可以像因式分解一样把它整理为 $(A+\alpha E)(A+\beta E)$。因为 $E$ 与任何同阶矩阵可交换，含 $E$ 的多项式恒等式可以按普通多项式的形式展开。

9. 例题：$A^3=O$ 时判断 $E-A$、$E+A$

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由 $A^3=O$，有

所以

同理，

因此

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这类题的关键不是硬算行列式，而是寻找乘积等于 $E$ 的“候选逆矩阵”。

本节速记

1. $A$ 可逆的前提：$A$ 必须是方阵。
2. $A$ 可逆 $\iff |A|\ne0$。
3. $A^{-1}=|A|^{-1}A^*$，这是伴随矩阵法。
4. 验证 $AB=E$ 或 $BA=E$ 的一边，就能用单侧逆推论。
5. 对角矩阵才可以逐个元素取倒数。
6. 看到 $A^k$、$E\pm A$ 或 $A+\alpha E$，优先尝试恒等式分解。