宋浩数学题库
学习计划章节题库

线性代数资料库

章节目录

2 章 · 17 节 · 40 份资料

46 道例题与练习
第 1 章 行列式7
1.2 排列与逆序
练习题2答案与解析
1.3 n阶行列式
练习题答案与解析
1.4 行列式的性质
练习题答案与解析
1.5 行列式按一行列展开
练习题答案与解析
1.6 行列式按多行列展开
练习题答案与解析
1.7 行列式的计算
练习题答案与解析
1.8 克莱姆法则
练习题答案与解析
第 2 章 矩阵10
2.1 矩阵的概念
视频截图笔记课堂例题2
2.2 矩阵的加减法与数乘
视频截图笔记课堂例题5
2.3 矩阵的乘法
视频截图笔记课堂例题7
2.4 方阵的幂
视频截图笔记课堂例题7
2.5 矩阵的转置
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.6 方阵的行列式
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.7 方阵的伴随矩阵
视频截图笔记练习题3答案与解析
2.8 矩阵方程
视频截图笔记练习题6答案与解析
2.8 逆矩阵
视频截图笔记练习题7答案与解析
2.8 逆矩阵2
视频截图笔记练习题7答案与解析
第 2 章 矩阵/2.4 方阵的幂

课堂例题

2.4 方阵的幂

例题.md

视频截图笔记
视频截图笔记课堂例题

来源

  • 课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
  • 分集：第 13 个分集，2.4 方阵的幂
  • 视频：BV1h7pteyEww，P13
  • 配套笔记：笔记.md
  • 原始材料：截图目录

例 1　计算方阵的三次幂

已知

A=(1101),A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix},A=(10​11​),

求 A3A^3A3，并观察 AnA^nAn 的规律。

解

先计算

A2=AA=(1101)(1101)=(1201).A^2=AA= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix}.A2=AA=(10​11​)(10​11​)=(10​21​).

因此

A3=A2A=(1201)(1101)=(1301).A^3=A^2A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 1&3\\ 0&1 \end{pmatrix}}.A3=A2A=(10​21​)(10​11​)=(10​31​)​.

继续观察可得

An=(1n01)(n 为非负整数).\boxed{ A^n= \begin{pmatrix} 1&n\\ 0&1 \end{pmatrix}} \qquad(n\text{ 为非负整数}).An=(10​n1​)​(n 为非负整数).

可用数学归纳法验证：n=0n=0n=0 时结论给出 I2I_2I2​；若对 nnn 成立，再右乘一个 AAA，右上角就从 nnn 变为 n+1n+1n+1。

对应截图：02-例01-二阶方阵三次幂.png

基础练习 A　使用同底数幂公式

设 AAA 为方阵，化简

A3A5,(A3)4,(2A)3.A^3A^5,\qquad (A^3)^4,\qquad (2A)^3.A3A5,(A3)4,(2A)3.

解

由同底数幂的性质，

A3A5=A8,\boxed{A^3A^5=A^8},A3A5=A8​, (A3)4=A12,\boxed{(A^3)^4=A^{12}},(A3)4=A12​, (2A)3=8A3.\boxed{(2A)^3=8A^3}.(2A)3=8A3​.

注意前两个式子的指数运算不同：相乘时指数相加，幂的幂则指数相乘。

基础练习 B　说明 (AB)2(AB)^2(AB)2 一般不等于 A2B2A^2B^2A2B2

取

A=(0100),B=(0010).A= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}.A=(00​10​),B=(01​00​).

解

先算

AB=(1000),AB= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix},AB=(10​00​),

所以

(AB)2=(1000).(AB)^2= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}.(AB)2=(10​00​).

另一方面，A2=OA^2=OA2=O 且 B2=OB^2=OB2=O，故

A2B2=O.A^2B^2=O.A2B2=O.

因此

(AB)2≠A2B2.\boxed{(AB)^2\ne A^2B^2}.(AB)2=A2B2​.

根本原因是 AB≠BAAB\ne BAAB=BA，不能随意调整 ABABABABABAB 中各因子的顺序。

例 2　比较 A2B2A^2B^2A2B2 与 (AB)2(AB)^2(AB)2

设

A=(1−10−2),B=(1−211),A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&-2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix},A=(10​−1−2​),B=(11​−21​),

求 A2A^2A2、B2B^2B2、A2B2A^2B^2A2B2 及 (AB)2(AB)^2(AB)2。

解

逐项计算得

A2=(1104),B2=(−1−42−1).A^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&4\end{pmatrix}, \qquad B^2=\begin{pmatrix}-1&-4\\2&-1\end{pmatrix}.A2=(10​14​),B2=(−12​−4−1​).

因此

A2B2=(1−58−4).A^2B^2= \boxed{\begin{pmatrix}1&-5\\8&-4\end{pmatrix}}.A2B2=(18​−5−4​)​.

另一方面，

AB=(0−3−2−2),AB=\begin{pmatrix}0&-3\\-2&-2\end{pmatrix},AB=(0−2​−3−2​),

所以

(AB)2=(66410).(AB)^2= \boxed{\begin{pmatrix}6&6\\4&10\end{pmatrix}}.(AB)2=(64​610​)​.

两个结果不同，再次说明一般不能把 (AB)2(AB)^2(AB)2 拆成 A2B2A^2B^2A2B2。

对应截图：09-例02-比较A2B2与AB平方.png

例 3　求下三角矩阵的 nnn 次幂

设

A=(1021),A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},A=(12​01​),

求 AnA^nAn。

解

令

N=A−I=(0020).N=A-I=\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}.N=A−I=(02​00​).

由于 N2=ON^2=ON2=O，且 III 与 NNN 可交换，

An=(I+N)n=I+nN.A^n=(I+N)^n=I+nN.An=(I+N)n=I+nN.

故

An=(102n1).\boxed{A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}.An=(12n​01​)​.

对应截图：10-例03-下三角矩阵n次幂.png

例 4　列向量乘行向量的幂

设

u=(1−12),vT=(31−2),u=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}, \qquad v^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}3&1&-2\end{pmatrix},u=​1−12​​,vT=(3​1​−2​),

求 (uvT)n(uv^{\mathsf T})^n(uvT)n。

解

先计算中间的标量

vTu=3−1−4=−2.v^{\mathsf T}u=3-1-4=-2.vTu=3−1−4=−2.

利用结合律，

(uvT)n=u(vTu)n−1vT=(−2)n−1uvT.(uv^{\mathsf T})^n =u(v^{\mathsf T}u)^{n-1}v^{\mathsf T} =(-2)^{n-1}uv^{\mathsf T}.(uvT)n=u(vTu)n−1vT=(−2)n−1uvT.

又

uvT=(31−2−3−1262−4),uv^{\mathsf T}= \begin{pmatrix} 3&1&-2\\ -3&-1&2\\ 6&2&-4 \end{pmatrix},uvT=​3−36​1−12​−22−4​​,

所以

(uvT)n=(−2)n−1(31−2−3−1262−4)(n≥1).\boxed{ (uv^{\mathsf T})^n=(-2)^{n-1} \begin{pmatrix} 3&1&-2\\ -3&-1&2\\ 6&2&-4 \end{pmatrix}} \qquad(n\ge1).(uvT)n=(−2)n−1​3−36​1−12​−22−4​​​(n≥1).

对应截图：11-例04-秩一乘积矩阵的n次幂.png

例 5　计算秩一矩阵的 100100100 次幂

已知

A=(24−612−348−12),A=\begin{pmatrix} 2&4&-6\\ 1&2&-3\\ 4&8&-12 \end{pmatrix},A=​214​428​−6−3−12​​,

求 A100A^{100}A100。

解

观察各行成比例，可分解为

A=(214)⏟u(12−3)⏟vT.A= \underbrace{\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}_{u} \underbrace{\begin{pmatrix}1&2&-3\end{pmatrix}}_{v^{\mathsf T}}.A=u​214​​​​vT(1​2​−3​)​​.

而

vTu=2+2−12=−8.v^{\mathsf T}u=2+2-12=-8.vTu=2+2−12=−8.

因此

A100=(−8)99A.\boxed{A^{100}=(-8)^{99}A}.A100=(−8)99A​.

对应截图：12-例05-秩一矩阵A100.png

例 6　利用低次关系化简高次式

设

A=(101020101),n≥2,A=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&2&0\\ 1&0&1 \end{pmatrix}, \qquad n\ge2,A=​101​020​101​​,n≥2,

求 An−2An−1A^n-2A^{n-1}An−2An−1。

解

直接计算可得

A2=2A.A^2=2A.A2=2A.

于是

An−2An−1=An−2(A2−2A)=An−2O=O.A^n-2A^{n-1} =A^{n-2}(A^2-2A) =A^{n-2}O =\boxed O.An−2An−1=An−2(A2−2A)=An−2O=O​.

对应截图：13-例06-利用A2等于2A化简.png

例 8　平方展开式成立的条件

设 A,BA,BA,B 为 nnn 阶方阵，判断

(A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2(A+B)2=A2+2AB+B2

成立的充分必要条件。

解

按矩阵乘法的分配律展开：

(A+B)2=A2+AB+BA+B2.(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2.(A+B)2=A2+AB+BA+B2.

要使它等于 A2+2AB+B2A^2+2AB+B^2A2+2AB+B2，必须且只需

AB+BA=2AB,AB+BA=2AB,AB+BA=2AB,

即

AB=BA.\boxed{AB=BA}.AB=BA​.

所以选择“AAA 与 BBB 可交换”。

对应截图：14-例08-平方展开公式成立条件.png

原始课程材料

课堂截图

14 张
2.4 方阵的幂课堂截图 1
01-方阵幂的定义.png
2.4 方阵的幂课堂截图 2
02-例01-二阶方阵三次幂.png
2.4 方阵的幂课堂截图 3
03-方阵幂的性质.png
2.4 方阵的幂课堂截图 4
04-乘积幂一般不可拆.png
2.4 方阵的幂课堂截图 5
05-可交换矩阵下的幂公式.png
2.4 方阵的幂课堂截图 6
06-单位矩阵与可交换公式.png
2.4 方阵的幂课堂截图 7
07-幂公式展开推导.png
2.4 方阵的幂课堂截图 8
08-方阵多项式定义.png
2.4 方阵的幂课堂截图 9
09-例02-比较A2B2与AB平方.png
2.4 方阵的幂课堂截图 10
10-例03-下三角矩阵n次幂.png
2.4 方阵的幂课堂截图 11
11-例04-秩一乘积矩阵的n次幂.png
2.4 方阵的幂课堂截图 12
12-例05-秩一矩阵A100.png
2.4 方阵的幂课堂截图 13
13-例06-利用A2等于2A化简.png
2.4 方阵的幂课堂截图 14
14-例08-平方展开公式成立条件.png
上一份视频截图笔记下一份视频截图笔记