章节题库 | 宋浩数学笔记 · AI 数学学习计划

例 1

由定义，

A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&x \end{vmatrix} =-(2x-4).

根据 $A_{23}=-8$ ，得 $x=6$ 。于是

\begin{aligned} A_{21} &=(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1&5\\ x&-1 \end{vmatrix}\\ &=-(-1-5x)=1+5x=31. \end{aligned}

故

\boxed{A_{21}=31}.

例 2

完全展开式中只有主对角线项和循环项可能非零。循环置换是一个四循环，符号为负，因此

\boxed{D=1-a^4}.

例 3

沿第三行展开：

\begin{aligned} D &=3(-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3&1&-1\\ 1&2&2\\ 0&1&2 \end{vmatrix}\\ &=-3\cdot3\\ &=\boxed{-9}. \end{aligned}

例 4

利用行列式性质消元，或选择合适的行、列逐步展开，可得

\boxed{D=-170}.

例 5

完全展开式中只有两项可能非零：

主对角线项为 $a^n$ ；
循环项为 $b^n$ ，其列指标是一个 $n$ 循环，符号为 $(-1)^{n-1}$ 。

因此

\boxed{D_n=a^n+(-1)^{n-1}b^n}.

例 6

按第三列展开：

D=\sum_{i=1}^{4}a_{i3}A_{i3} =\sum_{i=1}^{4}a_{i3}(-1)^{i+3}M_{i3}.

代入已知数据：

\begin{aligned} D &=(-1)(-2)+2\bigl[-(-5)\bigr]+0\cdot(-9)+1(-4)\\ &=2+10-4\\ &=\boxed{8}. \end{aligned}

例 7

（1）

把原行列式第四行替换为 $(1,1,1,1)$ ，沿第四行展开，便得到所求代数余子式之和：

\begin{aligned} A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44} &= \begin{vmatrix} 3&0&4&0\\ 3&2&2&2\\ 0&-7&0&0\\ 1&1&1&1 \end{vmatrix}\\ &=\boxed{-28}. \end{aligned}

（2）

因为

M_{4j}=(-1)^{4+j}A_{4j},

所以取新第四行为 $(-1,1,-1,1)$ ，沿第四行展开即可得到余子式之和：

\begin{aligned} M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44} &= \begin{vmatrix} 3&0&4&0\\ 3&2&2&2\\ 0&-7&0&0\\ -1&1&-1&1 \end{vmatrix}\\ &=\boxed{-56}. \end{aligned}

例 8

（1）

系数 $2,-3,1,5$ 恰好是原行列式第一行的元素。把第四行替换为第一行并沿第四行展开，所得行列式有两行相同，因此

\boxed{2A_{41}-3A_{42}+A_{43}+5A_{44}=0}.

（2）

由 $A_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j}$ ，

M_{11}-M_{12}+M_{13}-M_{14} =A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}.

把第一行替换为 $(1,1,1,1)$ 并沿第一行展开。此时新第一行与第三行 $(2,2,2,2)$ 成比例，故行列式为零：

\boxed{M_{11}-M_{12}+M_{13}-M_{14}=0}.

对应题目：练习题.md

例 1