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章节目录

2 章 · 17 节 · 40 份资料

46 道例题与练习
第 1 章 行列式7
1.2 排列与逆序
练习题2答案与解析
1.3 n阶行列式
练习题答案与解析
1.4 行列式的性质
练习题答案与解析
1.5 行列式按一行列展开
练习题答案与解析
1.6 行列式按多行列展开
练习题答案与解析
1.7 行列式的计算
练习题答案与解析
1.8 克莱姆法则
练习题答案与解析
第 2 章 矩阵10
2.1 矩阵的概念
视频截图笔记课堂例题2
2.2 矩阵的加减法与数乘
视频截图笔记课堂例题5
2.3 矩阵的乘法
视频截图笔记课堂例题7
2.4 方阵的幂
视频截图笔记课堂例题7
2.5 矩阵的转置
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.6 方阵的行列式
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.7 方阵的伴随矩阵
视频截图笔记练习题3答案与解析
2.8 矩阵方程
视频截图笔记练习题6答案与解析
2.8 逆矩阵
视频截图笔记练习题7答案与解析
2.8 逆矩阵2
视频截图笔记练习题7答案与解析
第 2 章 矩阵/2.8 逆矩阵

答案与解析

2.8 逆矩阵

答案与解析.md

练习题
视频截图笔记练习题答案与解析

练习 1

直接相乘：

AB=(1201)(1−201)=E2.AB=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}=E_2.AB=(10​21​)(10​−21​)=E2​.

同理 BA=E2BA=E_2BA=E2​，因此 B=A−1B=A^{-1}B=A−1。

练习 2

对 AAA 做行列式展开或化简：

∣A∣=1(3−15)−2(0−6)=−12+12=0.|A|=1(3-15)-2(0-6)=-12+12=0.∣A∣=1(3−15)−2(0−6)=−12+12=0.

所以 AAA 不可逆。

矩阵 BBB 的第二行满足 R2=2R1R_2=2R_1R2​=2R1​，因此 ∣B∣=0|B|=0∣B∣=0，BBB 也不可逆。

练习 3

∣A∣=1⋅3−1⋅2=1≠0,A∗=(3−1−21).|A|=1\cdot3-1\cdot2=1\ne0, \qquad A^*=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}.∣A∣=1⋅3−1⋅2=1=0,A∗=(3−2​−11​).

因此

A−1=1∣A∣A∗=(3−1−21).A^{-1}=\frac1{|A|}A^*=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}.A−1=∣A∣1​A∗=(3−2​−11​).

相乘可得 AA−1=E2AA^{-1}=E_2AA−1=E2​。

练习 4

三个对角元都不为零，所以 DDD 可逆，且

D−1=diag⁡(12,−1,14).D^{-1}=\operatorname{diag}\left(\frac12,-1,\frac14\right).D−1=diag(21​,−1,41​).

练习 5

两边取行列式：

∣A∣∣B∣=∣AB∣=∣E∣=1,|A||B|=|AB|=|E|=1,∣A∣∣B∣=∣AB∣=∣E∣=1,

所以 ∣A∣≠0|A|\ne0∣A∣=0，AAA 可逆。原式 AB=EAB=EAB=E 正好说明 BBB 是 AAA 的逆矩阵，因此 A−1=BA^{-1}=BA−1=B。

练习 6

由题设

A2−2A−3E=(A+E)(A−3E)=O.A^2-2A-3E=(A+E)(A-3E)=O.A2−2A−3E=(A+E)(A−3E)=O.

移项得

(A+E)(3E−A)=4E.(A+E)(3E-A)=4E.(A+E)(3E−A)=4E.

于是

(A+E)(14(3E−A))=E.(A+E)\left(\frac14(3E-A)\right)=E.(A+E)(41​(3E−A))=E.

由单侧逆推论，A+EA+EA+E 可逆，且

(A+E)−1=14(3E−A).(A+E)^{-1}=\frac14(3E-A).(A+E)−1=41​(3E−A).

练习 7

由 A3=OA^3=OA3=O：

(E−A)(E+A+A2)=E−A3=E,(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E,(E−A)(E+A+A2)=E−A3=E,

所以

(E−A)−1=E+A+A2.(E-A)^{-1}=E+A+A^2.(E−A)−1=E+A+A2.

同理，

(E+A)(E−A+A2)=E+A3=E,(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E,(E+A)(E−A+A2)=E+A3=E,

所以

(E+A)−1=E−A+A2.(E+A)^{-1}=E-A+A^2.(E+A)−1=E−A+A2.

原始课程材料

课堂截图

17 张
2.8 逆矩阵课堂截图 1▶ 00:00:44 播放
01-逆矩阵定义.jpg查看原图
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02-不可逆矩阵例.jpg查看原图
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03-奇异与非奇异矩阵.jpg查看原图
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04-可逆充要条件.jpg查看原图
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05-伴随矩阵法例1.jpg查看原图
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06-行列式为零例.jpg查看原图
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07-对角矩阵可逆条件.jpg查看原图
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08-对角矩阵的逆.jpg查看原图
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09-单侧逆推论.jpg查看原图
2.8 逆矩阵课堂截图 10▶ 00:26:33 播放
10-A加2E例题.jpg查看原图
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11-十字相乘分解.jpg查看原图
2.8 逆矩阵课堂截图 12▶ 00:33:08 播放
12-A三次方为零例题.jpg查看原图
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13-E加A的逆.jpg查看原图
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