来源

• 课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
• 分集：第 13 个分集，2.4 方阵的幂
• 视频：BV1h7pteyEww，P13
• 原始材料：截图目录
• 课堂例题：例题.md

1. 定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 为正整数，则 $A$ 的 $k$ 次幂定义为

特别规定

只有方阵才能反复与自身相乘，因此课程中谈“矩阵的幂”时，默认底数是方阵。

对应截图：01-方阵幂的定义.png

2. 同底数幂的性质

设 $A$ 为方阵，$k_1,k_2$ 为非负整数，则

若 $\lambda$ 为常数，$k$ 为正整数，则

这些结论成立的关键是所有因子都是同一个 $A$，可以利用矩阵乘法的结合律重新分组。

对应截图：03-方阵幂的性质.png

3. 乘积、和差的幂不能随意套公式

矩阵乘法一般不满足交换律，所以通常

以平方为例：

而

把 $ABAB$ 改排成 $AABB$ 需要交换中间的 $A$ 与 $B$。只有在 $AB=BA$ 时，才可以推出

同理，一般情况下

其中 $AB+BA$ 不能直接合并为 $2AB$。只有 $AB=BA$ 时，才有

以及常见的立方和、立方差公式。

一个重要特例是单位矩阵 $I$：它和所有同阶方阵都可交换。因此关于 $A\pm I$ 的平方、立方公式可以像普通多项式那样展开。

对应截图：

• 04-乘积幂一般不可拆.png
• 05-可交换矩阵下的幂公式.png
• 06-单位矩阵与可交换公式.png
• 07-幂公式展开推导.png

4. 方阵多项式

若

则把方阵 $A$ 代入后定义

常数项必须写成 $a_0I$，这样它才是与其他项同阶的方阵。例如

对应

对应截图：08-方阵多项式定义.png

5. 计算高次幂的常见突破口

5.1 观察简单递推关系

若算出 $A^2=cA$，则对 $n\ge 1$ 有

因此先算 $A^2$ 往往比直接连乘更重要。

5.2 写成列向量乘行向量

若 $A=uv^{\mathsf T}$，那么

进而

这类矩阵通常每一行或每一列彼此成比例，秩至多为 $1$。

5.3 拆成 $I+N$

若 $A=I+N$ 且 $N^2=O$，因为 $I$ 与 $N$ 可交换，

课堂例 1 就属于这一类。

对应截图：

• 10-例03-下三角矩阵n次幂.png
• 11-例04-秩一乘积矩阵的n次幂.png
• 12-例05-秩一矩阵A100.png
• 13-例06-利用A2等于2A化简.png

6. NumPy / PyTorch 对照

NumPy

import numpy as np

A = np.array([[1, 1],
              [0, 1]])

A3 = np.linalg.matrix_power(A, 3)
print(A3)
# [[1 3]
#  [0 1]]

PyTorch

import torch

A = torch.tensor([[1., 1.],
                  [0., 1.]])

A3 = torch.linalg.matrix_power(A, 3)

编程时要特别区分：

• np.linalg.matrix_power(A, k)、torch.linalg.matrix_power(A, k)：矩阵的 $k$ 次幂；
• A ** k：通常是每个元素分别做 $k$ 次方，不是矩阵幂；
• A @ A：矩阵乘法，可用于手工构造 $A^2$；
• np.linalg.matrix_power 和 torch.linalg.matrix_power 还允许负指数，但这时 $A$ 必须可逆。这是课程正整数幂定义的自然扩展。

库函数通常使用比顺序连乘更高效的算法。例如计算 $A^{16}$ 时，可以连续平方，而不必做 15 次普通连乘。

7. 与大模型的联系

矩阵幂表示“同一个线性变换重复执行”。若状态更新为

那么重复 $k$ 次后

这可用来理解循环网络、状态空间模型以及深层网络中的重复变换。实际 Transformer 各层权重通常不同，因此整个网络一般不是某一个矩阵的简单幂；但在权重共享或线性化分析中，矩阵幂仍然会出现。

矩阵幂也能解释数值稳定性：若某些方向在每次乘法中都被放大，$A^k$ 可能迅速增大；若不断缩小，则可能趋近于零。这与深层网络中的梯度爆炸、梯度消失有相似的数学结构。

残差连接可粗略写成

重复相同线性残差块时，会得到 $(I+F)^k$。其中的单位矩阵 $I$ 为信息提供了直接传递路径。

本节易错点

• 非方阵不能定义通常意义下的 $A^k$。
• $A^0$ 是与 $A$ 同阶的单位矩阵，不是零矩阵。
• A ** k 在 NumPy 和 PyTorch 中通常是逐元素幂。
• 直接写 $(AB)^k=A^kB^k$，忽略矩阵乘法不满足交换律。
• 直接把 $AB+BA$ 合并成 $2AB$；只有在 $AB=BA$ 时才可以。
• 在方阵多项式中把常数项 $a_0$ 写成一个数；正确写法是 $a_0I$。
• 把 $A^m+A^n$ 误写成 $A^{m+n}$；指数相加只对应乘法 $A^mA^n$。

本节自检

1. 为什么只有方阵才能定义通常意义下的矩阵幂？
2. $A^0$ 等于什么？它的阶数怎样确定？
3. $(A^3)^4$ 与 $A^3A^4$ 分别等于什么？
4. 在什么条件下可以写 $(AB)^k=A^kB^k$？
5. NumPy 中为什么不能用 A ** 3 代替矩阵三次幂？
6. 为什么方阵多项式的常数项要写成 $a_0I$？
7. 若 $A=uv^{\mathsf T}$，如何把 $A^n$ 化成 $A$ 的倍数？