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章节目录

2 章 · 17 节 · 40 份资料

46 道例题与练习
第 1 章 行列式7
1.2 排列与逆序
练习题2答案与解析
1.3 n阶行列式
练习题答案与解析
1.4 行列式的性质
练习题答案与解析
1.5 行列式按一行列展开
练习题答案与解析
1.6 行列式按多行列展开
练习题答案与解析
1.7 行列式的计算
练习题答案与解析
1.8 克莱姆法则
练习题答案与解析
第 2 章 矩阵10
2.1 矩阵的概念
视频截图笔记课堂例题2
2.2 矩阵的加减法与数乘
视频截图笔记课堂例题5
2.3 矩阵的乘法
视频截图笔记课堂例题7
2.4 方阵的幂
视频截图笔记课堂例题7
2.5 矩阵的转置
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.6 方阵的行列式
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.7 方阵的伴随矩阵
视频截图笔记练习题3答案与解析
2.8 矩阵方程
视频截图笔记练习题6答案与解析
2.8 逆矩阵
视频截图笔记练习题7答案与解析
2.8 逆矩阵2
视频截图笔记练习题7答案与解析
第 1 章 行列式/1.8 克莱姆法则

答案与解析

1.8 克莱姆法则

答案与解析.md

练习题
练习题答案与解析

对应题目：练习题.md

例 1

系数行列式为

D=∣2−1132−513−2∣=28≠0.D= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\ 3 & 2 & -5\\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} =28\ne0.D=​231​−123​1−5−2​​=28=0.

分别用常数列 (0,1,4)T(0,1,4)^{\mathsf T}(0,1,4)T 替换第 1,2,31,2,31,2,3 列，得到

D1=13,D2=47,D3=21.D_1=13,\qquad D_2=47,\qquad D_3=21.D1​=13,D2​=47,D3​=21.

由克莱姆法则，

x1=1328,x2=4728,x3=34.\boxed{ x_1=\frac{13}{28},\qquad x_2=\frac{47}{28},\qquad x_3=\frac34 }.x1​=2813​,x2​=2847​,x3​=43​​.

例 2

系数行列式为

D=∣1111123−114911827−1∣.D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & -1\\ 1 & 4 & 9 & 1\\ 1 & 8 & 27 & -1 \end{vmatrix}.D=​1111​1248​13927​1−11−1​​.

它是以 1,2,3,−11,2,3,-11,2,3,−1 为参数的四阶范德蒙德行列式，所以

D=(2−1)(3−1)(−1−1)(3−2)(−1−2)(−1−3)=−48≠0.D=(2-1)(3-1)(-1-1)(3-2)(-1-2)(-1-3)=-48\ne0.D=(2−1)(3−1)(−1−1)(3−2)(−1−2)(−1−3)=−48=0.

常数列 (1,1,1,1)T(1,1,1,1)^{\mathsf T}(1,1,1,1)T 恰好等于系数矩阵的第一列，因此

D1=D,D2=D3=D4=0.D_1=D,\qquad D_2=D_3=D_4=0.D1​=D,D2​=D3​=D4​=0.

故

(x1,x2,x3,x4)=(1,0,0,0).\boxed{(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,0,0,0)}.(x1​,x2​,x3​,x4​)=(1,0,0,0)​.

例 3

（1）

系数行列式

D(1)=∣11−25−272−54∣=63≠0.D^{(1)}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 5 & -2 & 7\\ 2 & -5 & 4 \end{vmatrix} =63\ne0.D(1)=​152​1−2−5​−274​​=63=0.

因此该齐次线性方程组只有零解，没有非零解。

（2）

系数行列式

D(2)=∣2−34−33−111−1345−7−213−25111∣=0.D^{(2)}= \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 & -3\\ 3 & -1 & 11 & -13\\ 4 & 5 & -7 & -2\\ 13 & -25 & 1 & 11 \end{vmatrix} =0.D(2)=​23413​−3−15−25​411−71​−3−13−211​​=0.

因此该齐次线性方程组有非零解。例如

(x1,x2,x3,x4)=t(1,1,1,1),t≠0.\boxed{(x_1,x_2,x_3,x_4)=t(1,1,1,1),\quad t\ne0}.(x1​,x2​,x3​,x4​)=t(1,1,1,1),t=0​.

例 4

齐次线性方程组只有零解，当且仅当系数行列式不为零。计算得

D=∣k111k−12−11∣=k2−3k−4=(k−4)(k+1).\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} k & 1 & 1\\ 1 & k & -1\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}\\ &=k^2-3k-4\\ &=(k-4)(k+1). \end{aligned}D​=​k12​1k−1​1−11​​=k2−3k−4=(k−4)(k+1).​

要求 D≠0D\ne0D=0，所以

k≠4,k≠−1.\boxed{k\ne4,\quad k\ne-1}.k=4,k=−1​.

例 5

第一个齐次线性方程组有非零解，因此其系数行列式必须为零：

∣48k10∣=40−8k=0.\begin{vmatrix} 4 & 8\\ k & 10 \end{vmatrix} =40-8k=0.​4k​810​​=40−8k=0.

由此得到

k=5.k=5.k=5.

第二个方程组化为

{2x+5y=1,3x+7y=2.\begin{cases} 2x+5y=1,\\ 3x+7y=2. \end{cases}{2x+5y=1,3x+7y=2.​

其系数行列式及两个分子行列式分别为

D=∣2537∣=−1,D= \begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 7 \end{vmatrix} =-1,D=​23​57​​=−1, Dx=∣1527∣=−3,Dy=∣2132∣=1.D_x= \begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 7 \end{vmatrix} =-3,\qquad D_y= \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix} =1.Dx​=​12​57​​=−3,Dy​=​23​12​​=1.

所以

x=3,y=−1.\boxed{x=3,\qquad y=-1}.x=3,y=−1​.

原始课程材料

课堂截图

5 张
1.8 克莱姆法则课堂截图 1
例01-克莱姆法则解三元方程组.png
1.8 克莱姆法则课堂截图 2
例02-克莱姆法则解四元方程组.png
1.8 克莱姆法则课堂截图 3
例03-判断齐次方程组有无非零解.png
1.8 克莱姆法则课堂截图 4
例04-只有零解时参数k的取值.png
1.8 克莱姆法则课堂截图 5
例05-由非零解确定参数并解方程组.png
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