1. 方阵才有行列式

若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则它的行列式记作

必须分清：$A$ 是一个矩阵，而 $|A|$ 是一个数。非方阵没有行列式。

2. 与转置、数乘、乘积有关的性质

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 为常数，$m$ 为正整数，则

其中最常见的错误是把 $|kA|$ 写成 $k|A|$。原因是 $n$ 阶矩阵共有 $n$ 行，每行都提出一个 $k$，一共得到 $k^n$。

3. 行列式不是普通绝对值

一般没有

也没有

能拆乘积，不能随意拆加减：

成立，但 $|A+B|$ 通常必须另找结构或直接计算。

4. 三角矩阵

上三角或下三角矩阵的行列式等于主对角线元素之积。例如

5. Python 与数值计算经验

import numpy as np

A = np.array([[1., 2.], [3., 4.]])
det_A = np.linalg.det(A)

# 大矩阵或数值跨度大时更稳健
sign, logabsdet = np.linalg.slogdet(A)

PyTorch 对应 torch.linalg.det(A) 与 torch.linalg.slogdet(A)。

实践经验：

• 浮点行列式结果可能是 2.9999999997，判断是否为零应使用容差；
• 解 $Ax=b$ 时优先 np.linalg.solve(A, b) / torch.linalg.solve(A, b)，不要先算逆矩阵；
• 判断矩阵是否可逆时，数值计算更应关注奇异值或条件数，而不是只看 det == 0；
• 需要精确整数/符号结果时，可使用 SymPy 的 Matrix(A).det()。

在大模型训练中，行列式本身不常作为主计算，但 logdet 会出现在高斯模型、协方差矩阵、正规化流与概率密度中。