章节题库 | 宋浩数学笔记 · AI 数学学习计划

来源：宋浩《线性代数》教学视频 2.0 版 P18“2.8 逆矩阵2”。本节集中整理可逆矩阵的八条常用性质及例 6～例 9。

1. 逆矩阵的逆

若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，并且

(A^{-1})^{-1}=A.

因为 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$ ，从 $A^{-1}$ 的角度看， $A$ 正是它的逆矩阵。

2. 转置与求逆可以交换

▶ 00:06:10 播放从 00:06:10 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则 $A^T$ 也可逆，且

(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.

验证时利用

A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E.

也就是说，先转置后求逆与先求逆后转置结果相同。

3. 数乘矩阵的逆

▶ 00:09:40 播放从 00:09:40 播放查看原图

若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $k\ne0$ ，则 $kA$ 可逆，且

(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}.

三个容易混淆的数乘公式要分开记：

|kA|=k^n|A|,\qquad (kA)^*=k^{n-1}A^*,\qquad (kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}.

4. 伴随矩阵的逆

▶ 00:17:00 播放从 00:17:00 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则 $A^*$ 也可逆，并且

(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac1{|A|}A.

由 $AA^*=A^*A=|A|E$ ，可直接验证

\left(\frac1{|A|}A\right)A^*=A^*\left(\frac1{|A|}A\right)=E.

这组公式说明，转置与求逆、伴随与求逆都可以交换先后顺序。

5. 乘积的逆要倒序

▶ 00:20:10 播放从 00:20:10 播放查看原图

若同阶方阵 $A,B$ 都可逆，则 $AB$ 可逆，且

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

关键是倒序。验证：

(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=E.

多个矩阵相乘时同理：

(A_1A_2\cdots A_r)^{-1}=A_r^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}.

6. 方阵幂的逆

▶ 00:22:20 播放从 00:22:20 播放查看原图

若 $A$ 可逆， $m$ 为正整数，则 $A^m$ 可逆，且

(A^m)^{-1}=(A^{-1})^m.

本课按当前记号体系把右边写成 $(A^{-1})^m$ ，明确表示“逆矩阵的 $m$ 次幂”。如果所用教材已经定义了矩阵的整数次幂，也常把它记作 $A^{-m}$ 。

7. 逆矩阵的行列式

▶ 00:23:10 播放从 00:23:10 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则

|A^{-1}|=\frac1{|A|}.

这是由 $|A||A^{-1}|=|E|=1$ 直接得到的。

8. 伴随矩阵法公式

▶ 00:23:50 播放从 00:23:50 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则

A^{-1}=\frac1{|A|}A^*, \qquad A^*=|A|A^{-1}.

前一个公式用于求逆，后一个公式在已知 $A^{-1}$ 时求伴随矩阵很方便。

9. 例 6：直接求 $(A^*)^{-1}$

▶ 00:24:35 播放从 00:24:35 播放查看原图

已知

A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 2&2&0\\ 3&4&5 \end{pmatrix},

求 $(A^*)^{-1}$ 。

▶ 00:27:20 播放从 00:27:20 播放查看原图

$A$ 是下三角矩阵，故 $|A|=1\times2\times5=10$ 。由性质 4：

(A^*)^{-1}=\frac1{|A|}A =\frac1{10}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 2&2&0\\ 3&4&5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac1{10}&0&0\\ \frac15&\frac15&0\\ \frac3{10}&\frac25&\frac12 \end{pmatrix}.

10. 例 7：已知 $A^{-1}$ 求 $(A^*)^{-1}$

▶ 00:27:33 播放从 00:27:33 播放查看原图

已知

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&3 \end{pmatrix},

求 $(A^*)^{-1}$ 。

▶ 00:29:10 播放从 00:29:10 播放查看原图

不必先求 $A$ 。直接使用

(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*,

对已知矩阵求伴随矩阵即可：

(A^*)^{-1} =\begin{pmatrix} 5&-2&-1\\ -2&2&0\\ -1&0&1 \end{pmatrix}.

11. 例 8：给行列式整体“配因子”

▶ 00:29:30 播放从 00:29:30 播放查看原图

设 $A,B$ 为三阶方阵，且

|A|=3,\qquad |B|=2,\qquad |A^{-1}+B|=2,

求 $|A+B^{-1}|$ 。

▶ 00:33:00 播放从 00:33:00 播放查看原图

在已知行列式左右配上 $A$ 与 $B^{-1}$ ：

\begin{aligned} |A+B^{-1}| &=|A(A^{-1}+B)B^{-1}|\\ &=|A|\,|A^{-1}+B|\,|B^{-1}|\\ &=3\times2\times\frac12=3. \end{aligned}

易错点：一般没有 $|A+B|=|A|+|B|$ ，不能把和的行列式拆开。

12. 例 9：转置与求逆的综合化简

▶ 00:33:30 播放从 00:33:30 播放查看原图

设

D=A^{-1}B^T(CB^{-1}+E)^T-[(C^{-1})^TA]^{-1},

其中

A=\operatorname{diag}\left(1,\frac12,\frac13\right),\quad B=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{pmatrix}.

▶ 00:37:30 播放从 00:37:30 播放查看原图

利用“转置与乘积求逆都要倒序”：

\begin{aligned} D &=A^{-1}B^T\bigl[(B^{-1})^TC^T+E\bigr] -A^{-1}\bigl[(C^{-1})^T\bigr]^{-1}\\ &=A^{-1}B^T(B^T)^{-1}C^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T\\ &=A^{-1}C^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T\\ &=A^{-1}B^T. \end{aligned}

▶ 00:38:34 播放从 00:38:34 播放查看原图

这里 $B^T=B$ ，且 $A^{-1}=\operatorname{diag}(1,2,3)$ ，所以

D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}.

本节速记

转置与求逆可以交换： $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ 。
伴随与求逆可以交换： $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$ 。
乘积求逆必须倒序： $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 。
数乘的三个指数分别是 $n$ 、 $n-1$ 、 $-1$ 。
$|A^{-1}|=1/|A|$ ， $(A^*)^{-1}=A/|A|$ 。
复杂式先化简，再代入具体矩阵，通常能避免大量无效计算。

来源：宋浩《线性代数》教学视频 2.0 版 P18“2.8 逆矩阵2”。本节集中整理可逆矩阵的八条常用性质及例 6～例 9。

1. 逆矩阵的逆

▶ 00:03:40 播放从 00:03:40 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，并且

(A^{-1})^{-1}=A.

因为 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$ ，从 $A^{-1}$ 的角度看， $A$ 正是它的逆矩阵。

2. 转置与求逆可以交换

▶ 00:06:10 播放从 00:06:10 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则 $A^T$ 也可逆，且

(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.

验证时利用

A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E.

也就是说，先转置后求逆与先求逆后转置结果相同。

3. 数乘矩阵的逆

▶ 00:09:40 播放从 00:09:40 播放查看原图

若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵， $k\ne0$ ，则 $kA$ 可逆，且

(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}.

三个容易混淆的数乘公式要分开记：

|kA|=k^n|A|,\qquad (kA)^*=k^{n-1}A^*,\qquad (kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}.

4. 伴随矩阵的逆

▶ 00:17:00 播放从 00:17:00 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则 $A^*$ 也可逆，并且

(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac1{|A|}A.

由 $AA^*=A^*A=|A|E$ ，可直接验证

\left(\frac1{|A|}A\right)A^*=A^*\left(\frac1{|A|}A\right)=E.

这组公式说明，转置与求逆、伴随与求逆都可以交换先后顺序。

5. 乘积的逆要倒序

▶ 00:20:10 播放从 00:20:10 播放查看原图

若同阶方阵 $A,B$ 都可逆，则 $AB$ 可逆，且

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

关键是倒序。验证：

(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=E.

多个矩阵相乘时同理：

(A_1A_2\cdots A_r)^{-1}=A_r^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}.

6. 方阵幂的逆

▶ 00:22:20 播放从 00:22:20 播放查看原图

若 $A$ 可逆， $m$ 为正整数，则 $A^m$ 可逆，且

(A^m)^{-1}=(A^{-1})^m.

本课按当前记号体系把右边写成 $(A^{-1})^m$ ，明确表示“逆矩阵的 $m$ 次幂”。如果所用教材已经定义了矩阵的整数次幂，也常把它记作 $A^{-m}$ 。

7. 逆矩阵的行列式

▶ 00:23:10 播放从 00:23:10 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则

|A^{-1}|=\frac1{|A|}.

这是由 $|A||A^{-1}|=|E|=1$ 直接得到的。

8. 伴随矩阵法公式

▶ 00:23:50 播放从 00:23:50 播放查看原图

若 $A$ 可逆，则

A^{-1}=\frac1{|A|}A^*, \qquad A^*=|A|A^{-1}.

前一个公式用于求逆，后一个公式在已知 $A^{-1}$ 时求伴随矩阵很方便。

9. 例 6：直接求 $(A^*)^{-1}$

▶ 00:24:35 播放从 00:24:35 播放查看原图

已知

A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 2&2&0\\ 3&4&5 \end{pmatrix},

求 $(A^*)^{-1}$ 。

▶ 00:27:20 播放从 00:27:20 播放查看原图

$A$ 是下三角矩阵，故 $|A|=1\times2\times5=10$ 。由性质 4：

(A^*)^{-1}=\frac1{|A|}A =\frac1{10}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 2&2&0\\ 3&4&5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac1{10}&0&0\\ \frac15&\frac15&0\\ \frac3{10}&\frac25&\frac12 \end{pmatrix}.

10. 例 7：已知 $A^{-1}$ 求 $(A^*)^{-1}$

▶ 00:27:33 播放从 00:27:33 播放查看原图

已知

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&3 \end{pmatrix},

求 $(A^*)^{-1}$ 。

▶ 00:29:10 播放从 00:29:10 播放查看原图

不必先求 $A$ 。直接使用

(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*,

对已知矩阵求伴随矩阵即可：

(A^*)^{-1} =\begin{pmatrix} 5&-2&-1\\ -2&2&0\\ -1&0&1 \end{pmatrix}.

11. 例 8：给行列式整体“配因子”

▶ 00:29:30 播放从 00:29:30 播放查看原图

设 $A,B$ 为三阶方阵，且

|A|=3,\qquad |B|=2,\qquad |A^{-1}+B|=2,

求 $|A+B^{-1}|$ 。

▶ 00:33:00 播放从 00:33:00 播放查看原图

在已知行列式左右配上 $A$ 与 $B^{-1}$ ：

\begin{aligned} |A+B^{-1}| &=|A(A^{-1}+B)B^{-1}|\\ &=|A|\,|A^{-1}+B|\,|B^{-1}|\\ &=3\times2\times\frac12=3. \end{aligned}

易错点：一般没有 $|A+B|=|A|+|B|$ ，不能把和的行列式拆开。

12. 例 9：转置与求逆的综合化简

▶ 00:33:30 播放从 00:33:30 播放查看原图

设

D=A^{-1}B^T(CB^{-1}+E)^T-[(C^{-1})^TA]^{-1},

其中

A=\operatorname{diag}\left(1,\frac12,\frac13\right),\quad B=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{pmatrix}.

▶ 00:37:30 播放从 00:37:30 播放查看原图

利用“转置与乘积求逆都要倒序”：

\begin{aligned} D &=A^{-1}B^T\bigl[(B^{-1})^TC^T+E\bigr] -A^{-1}\bigl[(C^{-1})^T\bigr]^{-1}\\ &=A^{-1}B^T(B^T)^{-1}C^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T\\ &=A^{-1}C^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T\\ &=A^{-1}B^T. \end{aligned}

▶ 00:38:34 播放从 00:38:34 播放查看原图

这里 $B^T=B$ ，且 $A^{-1}=\operatorname{diag}(1,2,3)$ ，所以

D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}.

本节速记

转置与求逆可以交换： $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ 。
伴随与求逆可以交换： $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$ 。
乘积求逆必须倒序： $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 。
数乘的三个指数分别是 $n$ 、 $n-1$ 、 $-1$ 。
$|A^{-1}|=1/|A|$ ， $(A^*)^{-1}=A/|A|$ 。
复杂式先化简，再代入具体矩阵，通常能避免大量无效计算。

2.8 逆矩阵2

1. 逆矩阵的逆

2. 转置与求逆可以交换

3. 数乘矩阵的逆

4. 伴随矩阵的逆

5. 乘积的逆要倒序

6. 方阵幂的逆

7. 逆矩阵的行列式

8. 伴随矩阵法公式

9. 例 6：直接求 $(A^*)^{-1}$

10. 例 7：已知 $A^{-1}$ 求 $(A^*)^{-1}$

11. 例 8：给行列式整体“配因子”

12. 例 9：转置与求逆的综合化简

本节速记

课堂截图

2.8 逆矩阵2

1. 逆矩阵的逆

2. 转置与求逆可以交换

3. 数乘矩阵的逆

4. 伴随矩阵的逆

5. 乘积的逆要倒序

6. 方阵幂的逆

7. 逆矩阵的行列式

8. 伴随矩阵法公式

9. 例 6：直接求 $(A^*)^{-1}$

10. 例 7：已知 $A^{-1}$ 求 $(A^*)^{-1}$

11. 例 8：给行列式整体“配因子”

12. 例 9：转置与求逆的综合化简

本节速记

课堂截图

2.8 逆矩阵2

1. 逆矩阵的逆

2. 转置与求逆可以交换

3. 数乘矩阵的逆

4. 伴随矩阵的逆

5. 乘积的逆要倒序

6. 方阵幂的逆

7. 逆矩阵的行列式

8. 伴随矩阵法公式

9. 例 6：直接求 (A∗)−1(A^*)^{-1}(A∗)−1

10. 例 7：已知 A−1A^{-1}A−1 求 (A∗)−1(A^*)^{-1}(A∗)−1

11. 例 8：给行列式整体“配因子”

12. 例 9：转置与求逆的综合化简

本节速记

课堂截图

2.8 逆矩阵2

1. 逆矩阵的逆

2. 转置与求逆可以交换

3. 数乘矩阵的逆

4. 伴随矩阵的逆

5. 乘积的逆要倒序

6. 方阵幂的逆

7. 逆矩阵的行列式

8. 伴随矩阵法公式

9. 例 6：直接求 (A∗)−1(A^*)^{-1}(A∗)−1

10. 例 7：已知 A−1A^{-1}A−1 求 (A∗)−1(A^*)^{-1}(A∗)−1

11. 例 8：给行列式整体“配因子”

12. 例 9：转置与求逆的综合化简

本节速记

课堂截图

9. 例 6：直接求 $(A^*)^{-1}$

10. 例 7：已知 $A^{-1}$ 求 $(A^*)^{-1}$

9. 例 6：直接求 $(A^*)^{-1}$

10. 例 7：已知 $A^{-1}$ 求 $(A^*)^{-1}$