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第 1 章行列式1.7 行列式的计算

练习题

1.7 行列式的计算

练习题.md

答案与解析

来源

课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
分集：第 8 个分集，1.7 行列式的计算
视频：BV1h7pteyEww，P8
原始材料：截图目录

当前共 8 题：例 1～例 7、例 9。例 8 的截图尚未收录。

例 1　对角元相同、非对角元相同的行列式

计算下列 $n$ 阶行列式：

D=\begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{vmatrix}.

要求：尝试使用化三角形法计算。

例 2　首行、首列为 1 的行列式

计算下列 $n$ 阶行列式：

D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & -2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & -3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & -n \end{vmatrix}.

例 3　对角元为 $1+a_i$ 的行列式

计算下列 $n$ 阶行列式，其中 $a_i\ne 0\ (i=1,2,\ldots,n)$ ：

D=\begin{vmatrix} 1+a_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_2 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_3 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_n \end{vmatrix}.

例 4　伴随型含参行列式

计算下列 $n$ 阶行列式：

D_n=\begin{vmatrix} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & x+a_1 \end{vmatrix}.

例 5　范德蒙德行列式

证明范德蒙德行列式公式：

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j).

例 6　四阶范德蒙德行列式

计算行列式：

D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix}.

例 7　含循环和式的三阶行列式

计算行列式：

D=\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ b+c & c+a & a+b \end{vmatrix}.

例 8

截图尚缺，待补充。

例 9　可分块的四阶行列式

计算行列式：

D=\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4 \end{vmatrix}.

原始课程材料

课堂截图

9 张

1.7 行列式的计算课堂截图 1

例01-对角元为a其余为b的n阶行列式.png

1.7 行列式的计算课堂截图 2

例02-首行首列为1的行列式.png

1.7 行列式的计算课堂截图 3

例03-对角元为1加ai的行列式.png

1.7 行列式的计算课堂截图 4

例04-伴随型含参行列式.png

1.7 行列式的计算课堂截图 5

例05-范德蒙德行列式.png

1.7 行列式的计算课堂截图 6

例06-四阶范德蒙德行列式.png

1.7 行列式的计算课堂截图 7

例07-含循环和式的三阶行列式.png

1.7 行列式的计算课堂截图 8

例09-解题板书.png

1.7 行列式的计算课堂截图 9

例09-可分块的四阶行列式.png