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章节目录

2 章 · 17 节 · 40 份资料

46 道例题与练习
第 1 章 行列式7
1.2 排列与逆序
练习题2答案与解析
1.3 n阶行列式
练习题答案与解析
1.4 行列式的性质
练习题答案与解析
1.5 行列式按一行列展开
练习题答案与解析
1.6 行列式按多行列展开
练习题答案与解析
1.7 行列式的计算
练习题答案与解析
1.8 克莱姆法则
练习题答案与解析
第 2 章 矩阵10
2.1 矩阵的概念
视频截图笔记课堂例题2
2.2 矩阵的加减法与数乘
视频截图笔记课堂例题5
2.3 矩阵的乘法
视频截图笔记课堂例题7
2.4 方阵的幂
视频截图笔记课堂例题7
2.5 矩阵的转置
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.6 方阵的行列式
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.7 方阵的伴随矩阵
视频截图笔记练习题3答案与解析
2.8 矩阵方程
视频截图笔记练习题6答案与解析
2.8 逆矩阵
视频截图笔记练习题7答案与解析
2.8 逆矩阵2
视频截图笔记练习题7答案与解析
第 2 章 矩阵/2.5 矩阵的转置

课堂例题

2.5 矩阵的转置

例题.md

视频截图笔记
视频截图笔记课堂例题答案与解析

例题 1：直接求转置

已知

A=(1230−14),B=(1−20).A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}.A=(10​2−1​34​),B=​1−20​​.

求 ATA^TAT 与 BTB^TBT。

解：

AT=(102−134),BT=(1,−2,0).A^T=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\3&4\end{pmatrix},\qquad B^T=(1,-2,0).AT=​123​0−14​​,BT=(1,−2,0).

例题 2：验证乘积转置公式

设

A=(1−10234),B=(2−113).A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}.A=​103​−124​​,B=(21​−13​).

先算

AB=(1−426109),AB=\begin{pmatrix}1&-4\\2&6\\10&9\end{pmatrix},AB=​1210​−469​​,

所以

(AB)T=(1210−469).(AB)^T=\begin{pmatrix}1&2&10\\-4&6&9\end{pmatrix}.(AB)T=(1−4​26​109​).

另一方面，

BTAT=(21−13)(103−124)=(1210−469).B^TA^T =\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&3\\-1&2&4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2&10\\-4&6&9\end{pmatrix}.BTAT=(2−1​13​)(1−1​02​34​)=(1−4​26​109​).

因此 (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT。

例题 3：判断对称与反对称

S=(10203−12−10),K=(01−2−1032−30).S=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&3&-1\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{pmatrix}.S=​102​03−1​2−10​​,K=​0−12​10−3​−230​​.

ST=SS^T=SST=S，故 SSS 是对称矩阵；KT=−KK^T=-KKT=−K，故 KKK 是反对称矩阵。

例题 4：反对称矩阵的幂

设 AT=−AA^T=-AAT=−A。证明 A10A^{10}A10 对称，A15A^{15}A15 反对称。

解：

(A10)T=(AT)10=(−A)10=A10,(A^{10})^T=(A^T)^{10}=(-A)^{10}=A^{10},(A10)T=(AT)10=(−A)10=A10, (A15)T=(AT)15=(−A)15=−A15.(A^{15})^T=(A^T)^{15}=(-A)^{15}=-A^{15}.(A15)T=(AT)15=(−A)15=−A15.

例题 5：任意矩阵产生对称矩阵

对任意 m×nm\times nm×n 矩阵 AAA，证明 ATAA^TAATA 与 AATAA^TAAT 都对称。

解：

(ATA)T=AT(AT)T=ATA,(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA,(ATA)T=AT(AT)T=ATA, (AAT)T=(AT)TAT=AAT.(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T.(AAT)T=(AT)TAT=AAT.

原始课程材料

课堂截图

14 张
2.5 矩阵的转置课堂截图 1
01-转置定义与例01.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 2
02-转置的基本性质.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 3
03-乘积与幂的转置.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 4
04-例02-乘积转置.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 5
05-对称矩阵定义.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 6
06-对称矩阵加减封闭.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 7
07-对称矩阵数乘与幂.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 8
08-对称矩阵乘积条件.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 9
09-ATA与AAT对称.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 10
10-反对称矩阵定义.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 11
11-反对称矩阵例子.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 12
12-反对称矩阵加减封闭.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 13
13-反对称矩阵数乘与幂.png
2.5 矩阵的转置课堂截图 14
14-例05-反对称矩阵的幂.png
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