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第 2 章矩阵2.5 矩阵的转置

答案与解析

2.5 矩阵的转置

答案与解析.md

练习 1

A^T=\begin{pmatrix}2&0\\-1&4\\3&5\end{pmatrix}, \qquad (A^T)^T=A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&5\end{pmatrix}.

$A$ 是 $2\times3$ ， $A^T$ 是 $3\times2$ ，再次转置恢复为 $2\times3$ 。

练习 2

先算

AB= \begin{pmatrix}1&2\\-1&0\\3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&5&6\\-2&1&-4\\6&0&13\end{pmatrix}.

所以

(AB)^T=\begin{pmatrix}2&-2&6\\5&1&0\\6&-4&13\end{pmatrix}.

又

B^TA^T= \begin{pmatrix}2&0\\-1&3\\4&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1&3\\2&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-2&6\\5&1&0\\6&-4&13\end{pmatrix}.

练习 3

任意方阵都能唯一分解为

C=\frac{C+C^T}{2}+\frac{C-C^T}{2}.

因此

S=\frac{C+C^T}{2} =\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&3&1\\ 2&1&0 \end{pmatrix},

K=\frac{C-C^T}{2} =\begin{pmatrix} 0&1&-3\\ -1&0&3\\ 3&-3&0 \end{pmatrix}.

检查可得 $S^T=S$ 、 $K^T=-K$ 且 $S+K=C$ 。

练习 4

利用乘积转置顺序颠倒：

(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA.

若 $K^T=-K$ ，则

(K^m)^T=(K^T)^m=(-K)^m=(-1)^mK^m.

$2026$ 为偶数，所以 $(K^{2026})^T=K^{2026}$ ； $2025$ 为奇数，所以 $(K^{2025})^T=-K^{2025}$ 。

原始课程材料

课堂截图

14 张

01-转置定义与例01.png

02-转置的基本性质.png

03-乘积与幂的转置.png

04-例02-乘积转置.png

05-对称矩阵定义.png

06-对称矩阵加减封闭.png

07-对称矩阵数乘与幂.png

08-对称矩阵乘积条件.png

09-ATA与AAT对称.png

10-反对称矩阵定义.png

11-反对称矩阵例子.png

12-反对称矩阵加减封闭.png

13-反对称矩阵数乘与幂.png

14-例05-反对称矩阵的幂.png

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