来源：宋浩《线性代数》教学视频 2.0 版 P19“2.8 矩阵方程”。本节整理三类基本矩阵方程、乘法顺序与可逆性检查，并收录例 10、例 11。
1. 解矩阵方程的核心：在正确的一侧乘逆矩阵
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若 A 可逆，方程
AX=C
的两边必须同时左乘 A−1：
A−1AX=A−1C,X=A−1C.
矩阵乘法通常不满足交换律，因此不能把右边写成 CA−1。
2. 三类基本矩阵方程
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在矩阵维数相容且有关逆矩阵存在时：
方程AX=CXA=CAXB=C操作两边同时左乘 A−1两边同时右乘 A−1左乘 A−1，右乘 B−1解X=A−1CX=CA−1X=A−1CB−1
记忆的重点不是死背结果，而是在线推导：想消去哪一侧的矩阵，就在等式两边的同一侧乘它的逆矩阵。
3. 两个严重易错点
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3.1 永远不要把矩阵写在分母上
由 AX=C 不能写
X=AC.
矩阵没有这里所需要的“除法”。正确写法是 X=A−1C，而且乘法顺序不能改变。
3.2 A−1 是一个矩阵，不是分数
A−1 表示 A 的逆矩阵，满足
AA−1=A−1A=E.
按本课当前尚未引入矩阵负整数次幂的记号体系，应把“逆矩阵再平方”明确写成
(A−1)2,
不要直接套用实数指数律写成 A−2。如果后续教材已经定义了矩阵的整数次幂，才可把它作为 (A−1)2 的简写。
4. 含数乘项时先补单位矩阵
例如
AX=2X+B.
移项后为 AX−2X=B。由于 A 是矩阵，不能写 A−2；应把
2X=2EX
代入，再从右侧提出 X：
AX−2EX=(A−2E)X=B.
随后必须先确认 A−2E 可逆，才能写
X=(A−2E)−1B.
逆矩阵不能“想写就写”：要么题目已给出可逆条件，要么自己证明对应行列式不为零。
5. 例 10：解 AX=2X+B
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已知
A=4000110−14,B=31261−3,
求矩阵方程 AX=2X+B 的解。
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先化成标准形式：
(A−2E)X=B,A−2E=2000−110−12.
检查可逆性：
∣A−2E∣=−2=0.
因此
(A−2E)−1=21000−210−11,X=(A−2E)−1B.
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完成矩阵乘法：
X=21000−210−1131261−3=23−4331−2.
6. 例 11：利用 AA∗=∣A∣E 化简方程
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已知
A=210110001,A−1=A∗B+B,
求矩阵 B。
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直接计算 A−1 与 A∗ 会很繁琐。观察等式中同时出现了 A−1 与 A∗，在两边同时左乘 A：
E=AA∗B+AB=∣A∣B+AB.
由给定矩阵可得 ∣A∣=1，所以
E=B+AB=(E+A)B.
于是
B=(E+A)−1.
本课在这里保留逆矩阵形式；E+A 的具体求逆将在后续初等行变换法中继续处理。
7. 本节检查清单
- 未把矩阵写在分母上；
- 左乘、右乘的位置与原方程一致；
- 提取 X 时保留矩阵的先后顺序；
- 数字与矩阵相减前补上单位矩阵，如 A−2E；
- 写逆矩阵前，先确认它确实可逆。