章节题库 | 宋浩数学笔记 · AI 数学学习计划

整理方式：视频画面用来确认公式和例题，语音字幕用来定位时间点和补充老师的讲解。

知识点 1：伴随矩阵的定义与求法

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ ， $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则

A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}.

最好记的六个字是：按行求，按列放。

只有方阵才有伴随矩阵。
任意方阵都有伴随矩阵，不要求 $A$ 可逆。
$A^*$ 中第 $i$ 列，放的是 $A$ 第 $i$ 行各元素的代数余子式。

对应例题 1：直接求三阶伴随矩阵

▶ 00:00:31 播放从 00:00:31 播放查看原图

A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 2&1&3\\ 1&1&4 \end{pmatrix}.

先按行求出代数余子式：

\begin{aligned} &A_{11}=1,\quad A_{12}=-5,\quad A_{13}=1,\\ &A_{21}=-3,\quad A_{22}=3,\quad A_{23}=0,\\ &A_{31}=2,\quad A_{32}=-1,\quad A_{33}=-1. \end{aligned}

再按列放入 $A^*$ ：

A^*=\begin{pmatrix} 1&-3&2\\ -5&3&-1\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}.

▶ 00:03:38 播放从 00:03:38 播放查看原图

知识点 2：核心乘积性质

▶ 00:08:06 播放从 00:08:06 播放查看原图

对任意 $n$ 阶方阵 $A$ ，均有

AA^*=A^*A=|A|I_n.

这条性质不以 $A$ 可逆为前提。证明 $AA^*=|A|I_n$ 时：

主对角元是某一行元素与自己的代数余子式的乘积之和，等于 $|A|$ ；
非主对角元是某一行元素与另一行代数余子式的乘积之和，等于 $0$ 。

▶ 00:12:15 播放从 00:12:15 播放查看原图

对应例题：检验例题 1

例题 1 中 $|A|=-3$ ，因此求得 $A^*$ 后可用

AA^*=-3I_3

快速检验结果。

知识点 3：伴随矩阵的行列式与数乘

▶ 00:13:46 播放从 00:13:46 播放查看原图

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

|A^*|=|A|^{n-1},

(kA)^*=k^{n-1}A^*.

▶ 00:28:10 播放从 00:28:10 播放查看原图

易错点：

从 $n$ 阶行列式 $|kA|$ 中提出 $k$ ，得到 $k^n|A|$ ；
从伴随矩阵记号中提出 $k$ ，得到 $k^{n-1}A^*$ 。

对应例题 2：求 $|2A^*|$

▶ 00:36:43 播放从 00:36:43 播放查看原图

本题的关键是直接用性质，不要先求 $A^*$ ：

|2A^*|=2^3|A^*|=2^3|A|^{3-1}.

画面中 $|A|=5$ ，所以

|2A^*|=8\times 5^2=200.

知识点 4：转置与伴随可交换顺序

▶ 00:23:40 播放从 00:23:40 播放查看原图

(A^T)^*=(A^*)^T.

对应用法

若题目已经给出 $A^*$ ，要求 $(A^T)^*$ 时无需重新计算代数余子式，直接对 $A^*$ 转置即可。

知识点 5：二阶方阵的快速求法

▶ 00:31:55 播放从 00:31:55 播放查看原图

若

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},

则

A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.

口诀：主对角线元素交换位置，副对角线元素变为相反数。该口诀只适用二阶方阵，忘记时应回到“按行求，按列放”。

对应例题：二阶速算

▶ 00:35:48 播放从 00:35:48 播放查看原图

A=\begin{pmatrix}1&2\\5&7\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^*=\begin{pmatrix}7&-2\\-5&1\end{pmatrix}.

知识点 6：综合条件 $A^*=A^T$

当 $A^*=A^T$ 时，比较对应元素可得 $A_{ij}=a_{ij}$ 。因此按第一行展开行列式时，

|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} =a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2.

对应例题 3：伴随、转置与行列式综合题

▶ 00:38:38 播放从 00:38:38 播放查看原图

题设 $A$ 是三阶方阵， $A^*=A^T$ ，且 $a_{11},a_{12},a_{13}$ 是三个相等的正数。设它们都等于 $x$ ，则

|A|=3x^2>0.

再对 $A^*=A^T$ 两边取行列式：

|A|^2=|A|,

结合 $|A|>0$ 得 $|A|=1$ 。于是

3x^2=1,\qquad x=\frac{\sqrt3}{3}.

▶ 00:43:58 播放从 00:43:58 播放查看原图

整理方式：视频画面用来确认公式和例题，语音字幕用来定位时间点和补充老师的讲解。

知识点 1：伴随矩阵的定义与求法

▶ 00:06:25 播放从 00:06:25 播放查看原图

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ ， $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则

A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}.

最好记的六个字是：按行求，按列放。

只有方阵才有伴随矩阵。
任意方阵都有伴随矩阵，不要求 $A$ 可逆。
$A^*$ 中第 $i$ 列，放的是 $A$ 第 $i$ 行各元素的代数余子式。

对应例题 1：直接求三阶伴随矩阵

▶ 00:00:31 播放从 00:00:31 播放查看原图

A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 2&1&3\\ 1&1&4 \end{pmatrix}.

先按行求出代数余子式：

\begin{aligned} &A_{11}=1,\quad A_{12}=-5,\quad A_{13}=1,\\ &A_{21}=-3,\quad A_{22}=3,\quad A_{23}=0,\\ &A_{31}=2,\quad A_{32}=-1,\quad A_{33}=-1. \end{aligned}

再按列放入 $A^*$ ：

A^*=\begin{pmatrix} 1&-3&2\\ -5&3&-1\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}.

▶ 00:03:38 播放从 00:03:38 播放查看原图

知识点 2：核心乘积性质

▶ 00:08:06 播放从 00:08:06 播放查看原图

对任意 $n$ 阶方阵 $A$ ，均有

AA^*=A^*A=|A|I_n.

这条性质不以 $A$ 可逆为前提。证明 $AA^*=|A|I_n$ 时：

主对角元是某一行元素与自己的代数余子式的乘积之和，等于 $|A|$ ；
非主对角元是某一行元素与另一行代数余子式的乘积之和，等于 $0$ 。

▶ 00:12:15 播放从 00:12:15 播放查看原图

对应例题：检验例题 1

例题 1 中 $|A|=-3$ ，因此求得 $A^*$ 后可用

AA^*=-3I_3

快速检验结果。

知识点 3：伴随矩阵的行列式与数乘

▶ 00:13:46 播放从 00:13:46 播放查看原图

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则

|A^*|=|A|^{n-1},

(kA)^*=k^{n-1}A^*.

▶ 00:28:10 播放从 00:28:10 播放查看原图

易错点：

从 $n$ 阶行列式 $|kA|$ 中提出 $k$ ，得到 $k^n|A|$ ；
从伴随矩阵记号中提出 $k$ ，得到 $k^{n-1}A^*$ 。

对应例题 2：求 $|2A^*|$

▶ 00:36:43 播放从 00:36:43 播放查看原图

本题的关键是直接用性质，不要先求 $A^*$ ：

|2A^*|=2^3|A^*|=2^3|A|^{3-1}.

画面中 $|A|=5$ ，所以

|2A^*|=8\times 5^2=200.

知识点 4：转置与伴随可交换顺序

▶ 00:23:40 播放从 00:23:40 播放查看原图

(A^T)^*=(A^*)^T.

对应用法

若题目已经给出 $A^*$ ，要求 $(A^T)^*$ 时无需重新计算代数余子式，直接对 $A^*$ 转置即可。

知识点 5：二阶方阵的快速求法

▶ 00:31:55 播放从 00:31:55 播放查看原图

若

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},

则

A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.

口诀：主对角线元素交换位置，副对角线元素变为相反数。该口诀只适用二阶方阵，忘记时应回到“按行求，按列放”。

对应例题：二阶速算

▶ 00:35:48 播放从 00:35:48 播放查看原图

A=\begin{pmatrix}1&2\\5&7\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^*=\begin{pmatrix}7&-2\\-5&1\end{pmatrix}.

知识点 6：综合条件 $A^*=A^T$

当 $A^*=A^T$ 时，比较对应元素可得 $A_{ij}=a_{ij}$ 。因此按第一行展开行列式时，

|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} =a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2.

对应例题 3：伴随、转置与行列式综合题

▶ 00:38:38 播放从 00:38:38 播放查看原图

题设 $A$ 是三阶方阵， $A^*=A^T$ ，且 $a_{11},a_{12},a_{13}$ 是三个相等的正数。设它们都等于 $x$ ，则

|A|=3x^2>0.

再对 $A^*=A^T$ 两边取行列式：

|A|^2=|A|,

结合 $|A|>0$ 得 $|A|=1$ 。于是

3x^2=1,\qquad x=\frac{\sqrt3}{3}.

▶ 00:43:58 播放从 00:43:58 播放查看原图

2.7 方阵的伴随矩阵

知识点 1：伴随矩阵的定义与求法

对应例题 1：直接求三阶伴随矩阵

知识点 2：核心乘积性质

对应例题：检验例题 1

知识点 3：伴随矩阵的行列式与数乘

对应例题 2：求 $|2A^*|$

知识点 4：转置与伴随可交换顺序

对应用法

知识点 5：二阶方阵的快速求法

对应例题：二阶速算

知识点 6：综合条件 $A^*=A^T$

对应例题 3：伴随、转置与行列式综合题

课堂截图

2.7 方阵的伴随矩阵

知识点 1：伴随矩阵的定义与求法

对应例题 1：直接求三阶伴随矩阵

知识点 2：核心乘积性质

对应例题：检验例题 1

知识点 3：伴随矩阵的行列式与数乘

对应例题 2：求 $|2A^*|$

知识点 4：转置与伴随可交换顺序

对应用法

知识点 5：二阶方阵的快速求法

对应例题：二阶速算

知识点 6：综合条件 $A^*=A^T$

对应例题 3：伴随、转置与行列式综合题

课堂截图

2.7 方阵的伴随矩阵

知识点 1：伴随矩阵的定义与求法

对应例题 1：直接求三阶伴随矩阵

知识点 2：核心乘积性质

对应例题：检验例题 1

知识点 3：伴随矩阵的行列式与数乘

对应例题 2：求 ∣2A∗∣|2A^*|∣2A∗∣

知识点 4：转置与伴随可交换顺序

对应用法

知识点 5：二阶方阵的快速求法

对应例题：二阶速算

知识点 6：综合条件 A∗=ATA^*=A^TA∗=AT

对应例题 3：伴随、转置与行列式综合题

课堂截图

2.7 方阵的伴随矩阵

知识点 1：伴随矩阵的定义与求法

对应例题 1：直接求三阶伴随矩阵

知识点 2：核心乘积性质

对应例题：检验例题 1

知识点 3：伴随矩阵的行列式与数乘

对应例题 2：求 ∣2A∗∣|2A^*|∣2A∗∣

知识点 4：转置与伴随可交换顺序

对应用法

知识点 5：二阶方阵的快速求法

对应例题：二阶速算

知识点 6：综合条件 A∗=ATA^*=A^TA∗=AT

对应例题 3：伴随、转置与行列式综合题

课堂截图

对应例题 2：求 $|2A^*|$

知识点 6：综合条件 $A^*=A^T$

对应例题 2：求 $|2A^*|$

知识点 6：综合条件 $A^*=A^T$