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章节目录

2 章 · 17 节 · 40 份资料

46 道例题与练习
第 1 章 行列式7
1.2 排列与逆序
练习题2答案与解析
1.3 n阶行列式
练习题答案与解析
1.4 行列式的性质
练习题答案与解析
1.5 行列式按一行列展开
练习题答案与解析
1.6 行列式按多行列展开
练习题答案与解析
1.7 行列式的计算
练习题答案与解析
1.8 克莱姆法则
练习题答案与解析
第 2 章 矩阵10
2.1 矩阵的概念
视频截图笔记课堂例题2
2.2 矩阵的加减法与数乘
视频截图笔记课堂例题5
2.3 矩阵的乘法
视频截图笔记课堂例题7
2.4 方阵的幂
视频截图笔记课堂例题7
2.5 矩阵的转置
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.6 方阵的行列式
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.7 方阵的伴随矩阵
视频截图笔记练习题3答案与解析
2.8 矩阵方程
视频截图笔记练习题6答案与解析
2.8 逆矩阵
视频截图笔记练习题7答案与解析
2.8 逆矩阵2
视频截图笔记练习题7答案与解析
第 2 章 矩阵/2.8 逆矩阵2

答案与解析

2.8 逆矩阵2

答案与解析.md

练习题
视频截图笔记练习题答案与解析

练习 1

由转置与求逆可交换：

((A−1)T)−1=AT.\bigl((A^{-1})^T\bigr)^{-1}=A^T.((A−1)T)−1=AT.

由数乘矩阵的逆：

(kAT)−1=1k(AT)−1=1k(A−1)T.(kA^T)^{-1}=\frac1k(A^T)^{-1}=\frac1k(A^{-1})^T.(kAT)−1=k1​(AT)−1=k1​(A−1)T.

由乘积求逆倒序及幂的性质：

(A3B)−1=B−1(A3)−1=B−1(A−1)3.(A^3B)^{-1}=B^{-1}(A^3)^{-1}=B^{-1}(A^{-1})^3.(A3B)−1=B−1(A3)−1=B−1(A−1)3.

练习 2

∣A∣=2×3=6≠0|A|=2\times3=6\ne0∣A∣=2×3=6=0。使用 (A∗)−1=A/∣A∣(A^*)^{-1}=A/|A|(A∗)−1=A/∣A∣：

(A∗)−1=16(2013)=(1301612).(A^*)^{-1} =\frac16\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac13&0\\\frac16&\frac12\end{pmatrix}.(A∗)−1=61​(21​03​)=(31​61​​021​​).

练习 3

使用 (A∗)−1=(A−1)∗(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*(A∗)−1=(A−1)∗，直接对已知矩阵求伴随矩阵：

(A∗)−1=(2111)∗=(1−1−12).(A^*)^{-1} =\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}^* =\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.(A∗)−1=(21​11​)∗=(1−1​−12​).

练习 4

因为矩阵为三阶，

∣2ATB−1∣=23∣AT∣∣B−1∣=8⋅(−2)⋅14=−4.|2A^TB^{-1}| =2^3|A^T||B^{-1}| =8\cdot(-2)\cdot\frac14=-4.∣2ATB−1∣=23∣AT∣∣B−1∣=8⋅(−2)⋅41​=−4.

因此

∣(2ATB−1)−1∣=−14.\left|(2A^TB^{-1})^{-1}\right|=-\frac14.​(2ATB−1)−1​=−41​.

练习 5

利用

A(A−1+B)B−1=A+B−1,A(A^{-1}+B)B^{-1}=A+B^{-1},A(A−1+B)B−1=A+B−1,

得

∣A+B−1∣=∣A∣ ∣A−1+B∣ ∣B−1∣=2×5×(−13)=−103.\begin{aligned} |A+B^{-1}| &=|A|\,|A^{-1}+B|\,|B^{-1}|\\ &=2\times5\times\left(-\frac13\right) =-\frac{10}{3}. \end{aligned}∣A+B−1∣​=∣A∣∣A−1+B∣∣B−1∣=2×5×(−31​)=−310​.​

练习 6

先展开转置：

(CB−1+E)T=(B−1)TCT+E.(CB^{-1}+E)^T=(B^{-1})^TC^T+E.(CB−1+E)T=(B−1)TCT+E.

同时，

[(C−1)TA]−1=A−1[(C−1)T]−1=A−1CT.[(C^{-1})^TA]^{-1}=A^{-1}[(C^{-1})^T]^{-1}=A^{-1}C^T.[(C−1)TA]−1=A−1[(C−1)T]−1=A−1CT.

所以

D=A−1BT(B−1)TCT+A−1BT−A−1CT=A−1CT+A−1BT−A−1CT=A−1BT.\begin{aligned} D &=A^{-1}B^T(B^{-1})^TC^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T\\ &=A^{-1}C^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T\\ &=A^{-1}B^T. \end{aligned}D​=A−1BT(B−1)TCT+A−1BT−A−1CT=A−1CT+A−1BT−A−1CT=A−1BT.​

练习 7

  1. 不恒成立。行列式一般不能对矩阵加法拆分。
  2. 不成立。正确结论为 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1。
  3. 不成立。若 AAA 为 nnn 阶方阵，则 (kA)∗=kn−1A∗(kA)^*=k^{n-1}A^*(kA)∗=kn−1A∗；只有在特定阶数或特定 kkk 下才可能恰好等于 kA∗kA^*kA∗。

原始课程材料

课堂截图

17 张
2.8 逆矩阵2课堂截图 1▶ 00:03:40 播放
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