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章节目录

2 章 · 17 节 · 40 份资料

46 道例题与练习
第 1 章 行列式7
1.2 排列与逆序
练习题2答案与解析
1.3 n阶行列式
练习题答案与解析
1.4 行列式的性质
练习题答案与解析
1.5 行列式按一行列展开
练习题答案与解析
1.6 行列式按多行列展开
练习题答案与解析
1.7 行列式的计算
练习题答案与解析
1.8 克莱姆法则
练习题答案与解析
第 2 章 矩阵10
2.1 矩阵的概念
视频截图笔记课堂例题2
2.2 矩阵的加减法与数乘
视频截图笔记课堂例题5
2.3 矩阵的乘法
视频截图笔记课堂例题7
2.4 方阵的幂
视频截图笔记课堂例题7
2.5 矩阵的转置
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.6 方阵的行列式
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.7 方阵的伴随矩阵
视频截图笔记练习题3答案与解析
2.8 矩阵方程
视频截图笔记练习题6答案与解析
2.8 逆矩阵
视频截图笔记练习题7答案与解析
2.8 逆矩阵2
视频截图笔记练习题7答案与解析
第 2 章 矩阵/2.8 矩阵方程

答案与解析

2.8 矩阵方程

答案与解析.md

练习题
视频截图笔记练习题答案与解析

练习 1

  1. 两边同时左乘 A−1A^{-1}A−1：

    X=A−1C.X=A^{-1}C.X=A−1C.

  2. 两边同时右乘 A−1A^{-1}A−1：

    X=CA−1.X=CA^{-1}.X=CA−1.

  3. 两边同时左乘 A−1A^{-1}A−1、右乘 B−1B^{-1}B−1：

    X=A−1CB−1.X=A^{-1}CB^{-1}.X=A−1CB−1.

练习 2

先求

A−1=(1−1−12).A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}.A−1=(1−1​−12​).

因为 AX=CAX=CAX=C，所以

X=A−1C=(1−1−12)(3120)=(111−1).X=A^{-1}C =\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.X=A−1C=(1−1​−12​)(32​10​)=(11​1−1​).

练习 3

因为 XA=CXA=CXA=C，逆矩阵必须乘在右侧：

X=CA−1=(1201)(1−1−12)=(−13−12).X=CA^{-1} =\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}.X=CA−1=(10​21​)(1−1​−12​)=(−1−1​32​).

练习 4

先移项并补单位矩阵：

AX−3X=AX−3EX=(A−3E)X=C.AX-3X=AX-3EX=(A-3E)X=C.AX−3X=AX−3EX=(A−3E)X=C.

其中

A−3E=(2011),(A−3E)−1=(120−121).A-3E=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad (A-3E)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0\\-\frac12&1\end{pmatrix}.A−3E=(21​01​),(A−3E)−1=(21​−21​​01​).

因此

X=(A−3E)−1C=(120−121)(2113)=(112052).X=(A-3E)^{-1}C =\begin{pmatrix}\frac12&0\\-\frac12&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&\frac12\\0&\frac52\end{pmatrix}.X=(A−3E)−1C=(21​−21​​01​)(21​13​)=(10​21​25​​).

练习 5

矩阵 AAA 的行列式为 ∣A∣=1|A|=1∣A∣=1。在

A−1=A∗B+BA^{-1}=A^*B+BA−1=A∗B+B

两边同时左乘 AAA：

E=AA∗B+AB=∣A∣B+AB=(E+A)B.E=AA^*B+AB=|A|B+AB=(E+A)B.E=AA∗B+AB=∣A∣B+AB=(E+A)B.

故

B=(E+A)−1.B=(E+A)^{-1}.B=(E+A)−1.

本题中

E+A=(3112),B=15(2−1−13).E+A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad B=\frac15\begin{pmatrix}2&-1\\-1&3\end{pmatrix}.E+A=(31​12​),B=51​(2−1​−13​).

练习 6

  1. 错误。矩阵不能写在分母上；若 AAA 可逆，应写 X=A−1CX=A^{-1}CX=A−1C。
  2. 错误。AAA 位于 XXX 的右侧，应同时右乘 A−1A^{-1}A−1，得到 X=CA−1X=CA^{-1}X=CA−1。
  3. 错误。矩阵 AAA 不能直接减标量 222；应写 (A−2E)X=C(A-2E)X=C(A−2E)X=C。
  4. 错误。只有先确认 A−2EA-2EA−2E 可逆，才能写 X=(A−2E)−1CX=(A-2E)^{-1}CX=(A−2E)−1C。

原始课程材料

课堂截图

8 张
2.8 矩阵方程课堂截图 1▶ 00:00:20 播放
01-AX方程与左乘求解.jpg查看原图
2.8 矩阵方程课堂截图 2▶ 00:05:35 播放
02-XA与AXB方程公式.jpg查看原图
2.8 矩阵方程课堂截图 3▶ 00:03:40 播放
03-易错点-矩阵不可作分母.jpg查看原图
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05-例10-可逆性与求解.jpg查看原图
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08-例11-完整解答.jpg查看原图
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