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线性代数资料库

章节目录

2 章 · 17 节 · 40 份资料

46 道例题与练习
第 1 章 行列式7
1.2 排列与逆序
练习题2答案与解析
1.3 n阶行列式
练习题答案与解析
1.4 行列式的性质
练习题答案与解析
1.5 行列式按一行列展开
练习题答案与解析
1.6 行列式按多行列展开
练习题答案与解析
1.7 行列式的计算
练习题答案与解析
1.8 克莱姆法则
练习题答案与解析
第 2 章 矩阵10
2.1 矩阵的概念
视频截图笔记课堂例题2
2.2 矩阵的加减法与数乘
视频截图笔记课堂例题5
2.3 矩阵的乘法
视频截图笔记课堂例题7
2.4 方阵的幂
视频截图笔记课堂例题7
2.5 矩阵的转置
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.6 方阵的行列式
视频截图笔记课堂例题答案与解析
2.7 方阵的伴随矩阵
视频截图笔记练习题3答案与解析
2.8 矩阵方程
视频截图笔记练习题6答案与解析
2.8 逆矩阵
视频截图笔记练习题7答案与解析
2.8 逆矩阵2
视频截图笔记练习题7答案与解析
第 2 章 矩阵/2.2 矩阵的加减法与数乘

课堂例题

2.2 矩阵的加减法与数乘

例题.md

视频截图笔记
视频截图笔记课堂例题

来源

  • 课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
  • 分集：第 11 个分集，2.2 矩阵的加法、减法、数乘
  • 视频：BV1h7pteyEww，P11
  • 配套笔记：笔记.md
  • 原始材料：截图目录

本批截图未包含课堂例 2，以下保留视频中的原编号，不自行补题。

例 1　矩阵加法

设

A=(301−2−14),B=(123051),A= \begin{pmatrix} 3&0&1\\ -2&-1&4 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&5&1 \end{pmatrix},A=(3−2​0−1​14​),B=(10​25​31​),

求 A+BA+BA+B。

解

A,BA,BA,B 都是 2×32\times32×3 矩阵，可以相加。对应元素相加得

A+B=(3+10+21+3−2+0−1+54+1)=(424−245).A+B= \begin{pmatrix} 3+1&0+2&1+3\\ -2+0&-1+5&4+1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 4&2&4\\ -2&4&5 \end{pmatrix}}.A+B=(3+1−2+0​0+2−1+5​1+34+1​)=(4−2​24​45​)​.

对应截图：01-矩阵加法与例01.png

例 3　解矩阵方程 A+X=BA+X=BA+X=B

设

A=(210321),B=(15−1042),A= \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 3&2&1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&5&-1\\ 0&4&2 \end{pmatrix},A=(23​12​01​),B=(10​54​−12​),

且 A+X=BA+X=BA+X=B，求 XXX。

解

等式两边同时减去 AAA：

X=B−A.X=B-A.X=B−A.

于是

X=(1−25−1−1−00−34−22−1)=(−14−1−321).X= \begin{pmatrix} 1-2&5-1&-1-0\\ 0-3&4-2&2-1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} -1&4&-1\\ -3&2&1 \end{pmatrix}}.X=(1−20−3​5−14−2​−1−02−1​)=(−1−3​42​−11​)​.

对应截图：03-例03-矩阵方程A加X等于B.png

例 4　矩阵的数乘

设

A=(12340−156),A= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 0&-1&5&6 \end{pmatrix},A=(10​2−1​35​46​),

求 3A3A3A。

解

用 333 乘 AAA 的每个元素：

3A=(369120−31518).3A= \boxed{ \begin{pmatrix} 3&6&9&12\\ 0&-3&15&18 \end{pmatrix}}.3A=(30​6−3​915​1218​)​.

对应截图：04-数乘与例04.png

例 5　线性组合与矩阵方程

设

A=(123−104),B=(0103−21).A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ -1&0&4 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 3&-2&1 \end{pmatrix}.A=(1−1​20​34​),B=(03​1−2​01​).

求：

  1. 3A+2B3A+2B3A+2B；
  2. 若 XXX 满足 2(A−X)−3B+4X=O2(A-X)-3B+4X=O2(A−X)−3B+4X=O，求 XXX。

解（1）

3A=(369−3012),2B=(0206−42).3A= \begin{pmatrix} 3&6&9\\ -3&0&12 \end{pmatrix}, \qquad 2B= \begin{pmatrix} 0&2&0\\ 6&-4&2 \end{pmatrix}.3A=(3−3​60​912​),2B=(06​2−4​02​).

因此

3A+2B=(3893−414).3A+2B = \boxed{ \begin{pmatrix} 3&8&9\\ 3&-4&14 \end{pmatrix}}.3A+2B=(33​8−4​914​)​.

解（2）

先展开并合并 XXX 项：

2(A−X)−3B+4X=O,2A−2X−3B+4X=O,2X=3B−2A,X=32B−A.\begin{aligned} 2(A-X)-3B+4X&=O,\\ 2A-2X-3B+4X&=O,\\ 2X&=3B-2A,\\ X&=\frac32B-A. \end{aligned}2(A−X)−3B+4X2A−2X−3B+4X2XX​=O,=O,=3B−2A,=23​B−A.​

计算

3B−2A=(0309−63)−(246−208)=(−2−1−611−6−5).3B-2A = \begin{pmatrix} 0&3&0\\ 9&-6&3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2&4&6\\ -2&0&8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&-1&-6\\ 11&-6&-5 \end{pmatrix}.3B−2A=(09​3−6​03​)−(2−2​40​68​)=(−211​−1−6​−6−5​).

所以

X=(−1−12−3112−3−52).X= \boxed{ \begin{pmatrix} -1&-\frac12&-3\\ \frac{11}{2}&-3&-\frac52 \end{pmatrix}}.X=(−1211​​−21​−3​−3−25​​)​.

对应截图：06-例05-线性组合与矩阵方程.png

例 6　由矩阵等式求参数

设

A=(x06y),B=(21z−3),C=(02−15),A= \begin{pmatrix} x&0\\ 6&y \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 2&1\\ z&-3 \end{pmatrix}, \quad C= \begin{pmatrix} 0&2\\ -1&5 \end{pmatrix},A=(x6​0y​),B=(2z​1−3​),C=(0−1​25​),

且 A+2B=CA+2B=CA+2B=C，求 x,y,zx,y,zx,y,z。

解

先计算左边：

A+2B=(x06y)+(422z−6)=(x+426+2zy−6).A+2B = \begin{pmatrix} x&0\\ 6&y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4&2\\ 2z&-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+4&2\\ 6+2z&y-6 \end{pmatrix}.A+2B=(x6​0y​)+(42z​2−6​)=(x+46+2z​2y−6​).

由矩阵相等，对应元素分别相等：

{x+4=0,6+2z=−1,y−6=5.\begin{cases} x+4=0,\\ 6+2z=-1,\\ y-6=5. \end{cases}⎩⎨⎧​x+4=0,6+2z=−1,y−6=5.​

解得

x=−4,y=11,z=−72.\boxed{x=-4,\qquad y=11,\qquad z=-\frac72}.x=−4,y=11,z=−27​​.

右上角对应关系为 2=22=22=2，自动成立，不产生新的未知数方程。

对应截图：07-例06-由矩阵等式求参数.png

原始课程材料

课堂截图

7 张
2.2 矩阵的加减法与数乘课堂截图 1
01-矩阵加法与例01.png
2.2 矩阵的加减法与数乘课堂截图 2
02-加减法运算规律.png
2.2 矩阵的加减法与数乘课堂截图 3
03-例03-矩阵方程A加X等于B.png
2.2 矩阵的加减法与数乘课堂截图 4
04-数乘与例04.png
2.2 矩阵的加减法与数乘课堂截图 5
05-数乘运算规律.png
2.2 矩阵的加减法与数乘课堂截图 6
06-例05-线性组合与矩阵方程.png
2.2 矩阵的加减法与数乘课堂截图 7
07-例06-由矩阵等式求参数.png
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