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第 2 章矩阵2.6 方阵的行列式

课堂例题

2.6 方阵的行列式

例题.md

例题 1：三角矩阵

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&4\\0&0&5\end{pmatrix}.

因为 $A$ 是上三角矩阵，

|A|=1\cdot(-1)\cdot5=-5.

例题 2：数乘矩阵与标量乘矩阵

设

A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\-1&4&5\end{pmatrix}.

由三角形结构得 $|A|=15$ 。所以

|2A|=2^3|A|=8\cdot15=120.

而 $|A|A$ 表示用标量 $15$ 乘矩阵：

|A|A=15A=\begin{pmatrix}15&30&0\\0&45&0\\-15&60&75\end{pmatrix}.

例题 3：复合行列式

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵且 $|A|=3$ ，求

\bigl||A|A^T\bigr|, \qquad \bigl||A|A^2\bigr|.

因为 $|A|=3$ 是标量，

\bigl||A|A^T\bigr|=|3A^T|=3^n|A^T|=3^{n+1},

\bigl||A|A^2\bigr|=|3A^2|=3^n|A^2|=3^n\cdot3^2=3^{n+2}.

例题 4：矩阵方程两边取行列式

已知

A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix},

$B$ 满足 $BA=B+2I_2$ ，求 $|B|$ 。

先正确提取右因子：

BA-BI_2=2I_2 \quad\Longrightarrow\quad B(A-I_2)=2I_2.

两边取行列式：

|B|\,|A-I_2|=|2I_2|=2^2=4.

而

|A-I_2|=\left|\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right|=2,

故 $|B|=2$ 。

例题 5：正交矩阵与加法行列式

设 $A^TA=I_n$ 且 $|A|<0$ ，证明 $|A+I_n|=0$ 。

由

|A^TA|=|I_n|

得 $|A|^2=1$ 。结合 $|A|<0$ ，有 $|A|=-1$ 。

再利用乘积构造：

A+I_n=A+A^TA=(I_n+A^T)A.

于是

|A+I_n|=|I_n+A^T|\,|A|.

又 $|I_n+A^T|=|(I_n+A)^T|=|I_n+A|$ ，所以

|A+I_n|=-|A+I_n|,

从而 $|A+I_n|=0$ 。

原始课程材料

课堂截图

8 张

01-方阵行列式定义.png

02-矩阵与行列式区别.png

03-方阵行列式性质.png

04-方阵行列式性质补充.png

05-例01-数乘与矩阵标量乘法.png

06-例02-复合行列式.png

07-例03-由矩阵方程求行列式.png

08-例04-正交矩阵行列式.png

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