章节题库 | 宋浩数学笔记 · AI 数学学习计划

来源

课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
分集：第 10 个分集，2.1 矩阵的概念
视频：BV1h7pteyEww，P10
配套笔记：笔记.md
原始材料：截图目录

引例　用矩阵表示关系

四个对象 $A,B,C,D$ 之间的关系用矩阵表示为

R= \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&0\\ 1&1&0&0 \end{pmatrix}.

其中第 $i$ 行、第 $j$ 列的 $1$ 表示两个对象之间存在关系， $0$ 表示不存在关系。

观察

$R$ 是 $4\times4$ 方阵。
主对角线全为 $0$ ，表示不把对象与自身的关系计入。
$R$ 关于主对角线对称，表示关系是双向的。
例如 $r_{AC}=1$ ，而 $r_{CD}=0$ 。

这类矩阵在图论中称为邻接矩阵，也是图神经网络的数据表示基础之一。

对应截图：01-矩阵与关系表示.png

例 1　由矩阵相等求参数

已知

A= \begin{pmatrix} 1&2\\ a&3\\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&b\\ -1&3\\ 0&1 \end{pmatrix},

且 $A=B$ ，求 $a,b$ 。

解

两个矩阵都是 $3\times2$ 矩阵，已经同型。由矩阵相等可知所有对应元素相等，因此

a=-1,\qquad b=2.

所以

\boxed{a=-1,\qquad b=2}.

关键点：矩阵相等是按位置比较，不能调换元素的位置。

对应截图：04-例01-由矩阵相等求参数.png

例 2　求负矩阵

已知

A= \begin{pmatrix} 1&3&0\\ 2&-4&5 \end{pmatrix},

求 $-A$ 。

解

把 $A$ 中每个元素取相反数：

-A= \begin{pmatrix} -1&-3&0\\ -2&4&-5 \end{pmatrix}.

所以

\boxed{ -A= \begin{pmatrix} -1&-3&0\\ -2&4&-5 \end{pmatrix}}

$A$ 与 $-A$ 的形状都是 $2\times3$ ，故二者同型。

对应截图：07-例02-负矩阵.png

课中示例　辨认特殊矩阵

判断下列矩阵的类型：

U= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-1&4\\ 0&0&5 \end{pmatrix}, \quad L= \begin{pmatrix} 1&0\\ 3&2 \end{pmatrix},

D= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}, \quad I_3= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

解

$U$ 的主对角线下方全为 $0$ ，所以是上三角矩阵。
$L$ 的主对角线上方全为 $0$ ，所以是下三角矩阵。
$D$ 的非对角元素全为 $0$ ，所以是对角矩阵；它同时也是上三角、下三角矩阵。
$I_3$ 是三阶单位矩阵；它还是数量矩阵、对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵。

对应截图：08-上三角与下三角矩阵.png · 09-对角矩阵.png · 11-单位矩阵.png

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课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
分集：第 10 个分集，2.1 矩阵的概念
视频：BV1h7pteyEww，P10
配套笔记：笔记.md
原始材料：截图目录

引例　用矩阵表示关系

四个对象 $A,B,C,D$ 之间的关系用矩阵表示为

R= \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&0\\ 1&1&0&0 \end{pmatrix}.

其中第 $i$ 行、第 $j$ 列的 $1$ 表示两个对象之间存在关系， $0$ 表示不存在关系。

观察

$R$ 是 $4\times4$ 方阵。
主对角线全为 $0$ ，表示不把对象与自身的关系计入。
$R$ 关于主对角线对称，表示关系是双向的。
例如 $r_{AC}=1$ ，而 $r_{CD}=0$ 。

这类矩阵在图论中称为邻接矩阵，也是图神经网络的数据表示基础之一。

对应截图：01-矩阵与关系表示.png

例 1　由矩阵相等求参数

已知

A= \begin{pmatrix} 1&2\\ a&3\\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&b\\ -1&3\\ 0&1 \end{pmatrix},

且 $A=B$ ，求 $a,b$ 。

解

两个矩阵都是 $3\times2$ 矩阵，已经同型。由矩阵相等可知所有对应元素相等，因此

a=-1,\qquad b=2.

所以

\boxed{a=-1,\qquad b=2}.

关键点：矩阵相等是按位置比较，不能调换元素的位置。

对应截图：04-例01-由矩阵相等求参数.png

例 2　求负矩阵

已知

A= \begin{pmatrix} 1&3&0\\ 2&-4&5 \end{pmatrix},

求 $-A$ 。

解

把 $A$ 中每个元素取相反数：

-A= \begin{pmatrix} -1&-3&0\\ -2&4&-5 \end{pmatrix}.

所以

\boxed{ -A= \begin{pmatrix} -1&-3&0\\ -2&4&-5 \end{pmatrix}}

$A$ 与 $-A$ 的形状都是 $2\times3$ ，故二者同型。

对应截图：07-例02-负矩阵.png

课中示例　辨认特殊矩阵

判断下列矩阵的类型：

U= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-1&4\\ 0&0&5 \end{pmatrix}, \quad L= \begin{pmatrix} 1&0\\ 3&2 \end{pmatrix},

D= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}, \quad I_3= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

解

$U$ 的主对角线下方全为 $0$ ，所以是上三角矩阵。
$L$ 的主对角线上方全为 $0$ ，所以是下三角矩阵。
$D$ 的非对角元素全为 $0$ ，所以是对角矩阵；它同时也是上三角、下三角矩阵。
$I_3$ 是三阶单位矩阵；它还是数量矩阵、对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵。

对应截图：08-上三角与下三角矩阵.png · 09-对角矩阵.png · 11-单位矩阵.png

2.1 矩阵的概念

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引例　用矩阵表示关系

观察

例 1　由矩阵相等求参数

解

例 2　求负矩阵

解

课中示例　辨认特殊矩阵

解

课堂截图

2.1 矩阵的概念

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引例　用矩阵表示关系

观察

例 1　由矩阵相等求参数

解

例 2　求负矩阵

解

课中示例　辨认特殊矩阵

解

课堂截图

2.1 矩阵的概念

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引例 用矩阵表示关系

观察

例 1 由矩阵相等求参数

解

例 2 求负矩阵

解

课中示例 辨认特殊矩阵

解

课堂截图

2.1 矩阵的概念

来源

引例 用矩阵表示关系

观察

例 1 由矩阵相等求参数

解

例 2 求负矩阵

解

课中示例 辨认特殊矩阵

解

课堂截图

引例　用矩阵表示关系

例 1　由矩阵相等求参数

例 2　求负矩阵

课中示例　辨认特殊矩阵

引例　用矩阵表示关系

例 1　由矩阵相等求参数

例 2　求负矩阵

课中示例　辨认特殊矩阵