章节题库 | 宋浩数学笔记 · AI 数学学习计划

来源

课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
分集：第 12 个分集，2.3 矩阵的乘法
视频：BV1h7pteyEww，P12
配套笔记：笔记.md
原始材料：截图目录

做矩阵乘法前先写 shape：中间相等可以相乘，结果的形状取两头。

例 1　分别计算 $AB$ 与 $BA$

设

A= \begin{pmatrix} -1&1&2\\ 3&0&1 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&3\\ -1&1 \end{pmatrix},

求 $AB$ 、 $BA$ 。

解

先看 shape：

A_{2\times3}B_{3\times2}\to(AB)_{2\times2},

B_{3\times2}A_{2\times3}\to(BA)_{3\times3}.

因此两个乘积都有意义，但结果 shape 不同。

AB= \begin{pmatrix} -1\cdot1+1\cdot0+2\cdot(-1)&-1\cdot2+1\cdot3+2\cdot1\\ 3\cdot1+0\cdot0+1\cdot(-1)&3\cdot2+0\cdot3+1\cdot1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} -3&3\\ 2&7 \end{pmatrix}}.

BA= \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+2\cdot3&1\cdot1+2\cdot0&1\cdot2+2\cdot1\\ 0\cdot(-1)+3\cdot3&0\cdot1+3\cdot0&0\cdot2+3\cdot1\\ -1\cdot(-1)+1\cdot3&-1\cdot1+1\cdot0&-1\cdot2+1\cdot1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 5&1&4\\ 9&0&3\\ 4&-1&-1 \end{pmatrix}}.

这个例子说明： $AB$ 与 $BA$ 都有意义，也不代表两者相等，甚至 shape 都可能不同。

对应截图：04-例01-计算AB与BA题目.png、05-例01-计算AB与BA板书.png

例 2　 $AB$ 有意义，但 $BA$ 无意义

设

A= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&4&-2 \end{pmatrix},

求 $AB$ 、 $BA$ 。

解

A_{2\times2}B_{2\times3}\to(AB)_{2\times3},

所以

AB= \boxed{ \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}}.

而 $B_{2\times3}A_{2\times2}$ 的中间维度 $3\ne2$ ，所以 $BA$ 无意义。

这个例子同时说明：

$AB$ 有意义，不能推出 $BA$ 有意义；
$A\ne O$ 、 $B\ne O$ ，仍可能有 $AB=O$ 。

对应截图：06-例02-单向可乘.png

例 3　列矩阵与行矩阵相乘

设

A= \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} -1&1&4 \end{pmatrix},

求 $AB$ 、 $BA$ 。

解

A_{3\times1}B_{1\times3}\to(AB)_{3\times3}.

列向量乘行向量得到外积：

AB= \boxed{ \begin{pmatrix} -1&1&4\\ -2&2&8\\ -3&3&12 \end{pmatrix}}.

反过来，

B_{1\times3}A_{3\times1}\to(BA)_{1\times1},

BA=(-1)\cdot1+1\cdot2+4\cdot3=\boxed{13}.

所以“列乘行”得到矩阵，“行乘列”得到一个点积标量（严格说是 $1\times1$ 矩阵）。

对应截图：07-例03-列矩阵与行矩阵相乘.png

例 4　矩阵乘法不能随意消去

设

A= \begin{pmatrix} 2&0\\ -1&0 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&-1 \end{pmatrix},\qquad C= \begin{pmatrix} 0&0\\ 3&5 \end{pmatrix},

求 $AB$ 与 $AC$ 。

解

$A$ 的第二列全为零，而 $B,C$ 的第一行也全为零，因此

AB= \boxed{ \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}},\qquad AC= \boxed{ \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}}.

于是 $AB=AC$ ，但显然 $A\ne O$ 且 $B\ne C$ 。

所以仅凭 $AB=AC$ 与 $A\ne O$ ，不能消去左边的 $A$ 。

对应截图：10-例04-消去律反例.png

例 5　计算 $ABC$

设

A= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&-2&1 \end{pmatrix},\qquad C= \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix},

求 $ABC$ 。

解法一：先算 $AB$

AB= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&-2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&3&1\\ 2&-1&3 \end{pmatrix}.

再乘 $C$ ：

(AB)C= \begin{pmatrix} 0&3&1\\ 2&-1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}}.

解法二：先算 $BC$

BC= \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&-2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}.

A(BC)= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix}}.

两种算法结果相同，体现结合律 $(AB)C=A(BC)$ 。

对应截图：16-例05-计算ABC.png

例 6　判断矩阵是否可交换

（1）两个二阶方阵

设

A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 2&1\\ 0&2 \end{pmatrix}.

计算得

AB= \begin{pmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{pmatrix},\qquad BA= \begin{pmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{pmatrix}.

因此

\boxed{AB=BA，\text{所以 }A,B\text{ 可交换}}.

也可以观察到 $B=A+I$ ，所以

AB=A(A+I)=A^2+A=(A+I)A=BA.

（2）非方阵

设

A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&1&-1 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}.

A_{2\times3}B_{3\times1}\to(AB)_{2\times1},\qquad B_{3\times1}A_{2\times3}\text{ 的中间维度 }1\ne2.

因此 $AB$ 有意义，而 $BA$ 无意义， $A,B$ 不可交换。

具体地，

AB= \begin{pmatrix} 4\\-1 \end{pmatrix}.

对应截图：19-例06-判断矩阵是否可交换.png

例 7　求与给定矩阵可交换的所有矩阵

求与

A= \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&1 \end{pmatrix}

可交换的所有矩阵。

解

能与二阶方阵 $A$ 可交换的矩阵必须也是二阶方阵。设

B= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}.

分别计算：

AB= \begin{pmatrix} a&b\\ a+c&b+d \end{pmatrix},\qquad BA= \begin{pmatrix} a+b&b\\ c+d&d \end{pmatrix}.

由 $AB=BA$ ，对应元素相等：

\begin{cases} a=a+b,\\ b=b,\\ a+c=c+d,\\ b+d=d. \end{cases}

得到

b=0,\qquad d=a,

而 $c$ 任意。因此所有可交换矩阵为

\boxed{ B= \begin{pmatrix} a&0\\ c&a \end{pmatrix}},\qquad a,c\text{ 为任意常数}.

对应截图：20-例07-求全部可交换矩阵.png

来源

课程：宋浩老师《线性代数》教学视频 2.0 版
分集：第 12 个分集，2.3 矩阵的乘法
视频：BV1h7pteyEww，P12
配套笔记：笔记.md
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做矩阵乘法前先写 shape：中间相等可以相乘，结果的形状取两头。

例 1　分别计算 $AB$ 与 $BA$

设

A= \begin{pmatrix} -1&1&2\\ 3&0&1 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&3\\ -1&1 \end{pmatrix},

求 $AB$ 、 $BA$ 。

解

先看 shape：

A_{2\times3}B_{3\times2}\to(AB)_{2\times2},

B_{3\times2}A_{2\times3}\to(BA)_{3\times3}.

因此两个乘积都有意义，但结果 shape 不同。

AB= \begin{pmatrix} -1\cdot1+1\cdot0+2\cdot(-1)&-1\cdot2+1\cdot3+2\cdot1\\ 3\cdot1+0\cdot0+1\cdot(-1)&3\cdot2+0\cdot3+1\cdot1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} -3&3\\ 2&7 \end{pmatrix}}.

BA= \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+2\cdot3&1\cdot1+2\cdot0&1\cdot2+2\cdot1\\ 0\cdot(-1)+3\cdot3&0\cdot1+3\cdot0&0\cdot2+3\cdot1\\ -1\cdot(-1)+1\cdot3&-1\cdot1+1\cdot0&-1\cdot2+1\cdot1 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 5&1&4\\ 9&0&3\\ 4&-1&-1 \end{pmatrix}}.

这个例子说明： $AB$ 与 $BA$ 都有意义，也不代表两者相等，甚至 shape 都可能不同。

对应截图：04-例01-计算AB与BA题目.png、05-例01-计算AB与BA板书.png

例 2　 $AB$ 有意义，但 $BA$ 无意义

设

A= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&4&-2 \end{pmatrix},

求 $AB$ 、 $BA$ 。

解

A_{2\times2}B_{2\times3}\to(AB)_{2\times3},

所以

AB= \boxed{ \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}}.

而 $B_{2\times3}A_{2\times2}$ 的中间维度 $3\ne2$ ，所以 $BA$ 无意义。

这个例子同时说明：

$AB$ 有意义，不能推出 $BA$ 有意义；
$A\ne O$ 、 $B\ne O$ ，仍可能有 $AB=O$ 。

对应截图：06-例02-单向可乘.png

例 3　列矩阵与行矩阵相乘

设

A= \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} -1&1&4 \end{pmatrix},

求 $AB$ 、 $BA$ 。

解

A_{3\times1}B_{1\times3}\to(AB)_{3\times3}.

列向量乘行向量得到外积：

AB= \boxed{ \begin{pmatrix} -1&1&4\\ -2&2&8\\ -3&3&12 \end{pmatrix}}.

反过来，

B_{1\times3}A_{3\times1}\to(BA)_{1\times1},

BA=(-1)\cdot1+1\cdot2+4\cdot3=\boxed{13}.

所以“列乘行”得到矩阵，“行乘列”得到一个点积标量（严格说是 $1\times1$ 矩阵）。

对应截图：07-例03-列矩阵与行矩阵相乘.png

例 4　矩阵乘法不能随意消去

设

A= \begin{pmatrix} 2&0\\ -1&0 \end{pmatrix},\qquad B= \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&-1 \end{pmatrix},\qquad C= \begin{pmatrix} 0&0\\ 3&5 \end{pmatrix},

求 $AB$ 与 $AC$ 。

解

$A$ 的第二列全为零，而 $B,C$ 的第一行也全为零，因此

AB= \boxed{ \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}},\qquad AC= \boxed{ \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}}.

于是 $AB=AC$ ，但显然 $A\ne O$ 且 $B\ne C$ 。

所以仅凭 $AB=AC$ 与 $A\ne O$ ，不能消去左边的 $A$ 。

对应截图：10-例04-消去律反例.png