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第 1 章行列式1.6 行列式按多行列展开

答案与解析

1.6 行列式按多行列展开

答案与解析.md

对应题目：练习题.md

按前三行选取前三列作拉普拉斯展开。由于右上角的 $3\times2$ 子块全为零，只有一项非零：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&1&-1\\ 0&2&4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 3&1 \end{vmatrix}\\ &=6\cdot(-11)\\ &=\boxed{-66}. \end{aligned}

按前两行选取第 $4,5$ 列作拉普拉斯展开。符号因子为

(-1)^{(1+2)+(4+5)}=1.

因此

\begin{aligned} D_1 &= \begin{vmatrix} 1&2\\ 2&3 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1&2&4\\ 0&4&3\\ 0&-1&0 \end{vmatrix}\\ &=(-1)\cdot3\\ &=\boxed{-3}. \end{aligned}

先交换第 $2,3$ 行，产生一个负号；再将列按 $2,3,1,4$ 的次序重排，该列置换为偶置换，符号不变。于是

\begin{aligned} D &=- \begin{vmatrix} a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d \end{vmatrix}\\ &=- \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}^{\!2}\\ &=\boxed{-(ad-bc)^2}. \end{aligned}

故选择

\boxed{\text{(B)}}.

原始课程材料

2 张

例02-用拉普拉斯定理计算五阶行列式.png

例03-计算分块型四阶行列式.png

例 2

（1）

按前三行选取前三列作拉普拉斯展开。由于右上角的

3\times2

子块全为零，只有一项非零：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&1&-1\\ 0&2&4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 3&1 \end{vmatrix}\\ &=6\cdot(-11)\\ &=\boxed{-66}. \end{aligned}

（2）

按前两行选取第

4,5

列作拉普拉斯展开。符号因子为

(-1)^{(1+2)+(4+5)}=1.

因此

\begin{aligned} D_1 &= \begin{vmatrix} 1&2\\ 2&3 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1&2&4\\ 0&4&3\\ 0&-1&0 \end{vmatrix}\\ &=(-1)\cdot3\\ &=\boxed{-3}. \end{aligned}

例 3

先交换第

2,3

行，产生一个负号；再将列按

2,3,1,4

的次序重排，该列置换为偶置换，符号不变。于是

\begin{aligned} D &=- \begin{vmatrix} a&b&0&0\\ c&d&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&c&d \end{vmatrix}\\ &=- \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}^{\!2}\\ &=\boxed{-(ad-bc)^2}. \end{aligned}

故选择

\boxed{\text{(B)}}.