1. 定义

把矩阵 $A$ 的各行依次变成各列，得到的矩阵称为 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$。

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $A^T$ 是 $n\times m$ 矩阵，并且

例如

行向量与列向量也通过转置互相转换：

2. 基本性质

在矩阵形状允许的前提下：

3. 乘积转置：顺序要颠倒

这条性质最容易写错。可以记成：转置一个乘积，不只给每项加 $T$，还要把因子的顺序倒过来。

进一步地，

以及

4. 对称矩阵

若方阵 $A$ 满足

则称 $A$ 为对称矩阵。等价地，$a_{ij}=a_{ji}$，即主对角线两侧对应元素相等。

常用结论：

• 同阶对称矩阵的和、差仍为对称矩阵；
• $kA$ 与 $A^m$ 仍为对称矩阵；
• 若 $A,B$ 都对称，则 $AB$ 对称的充要条件是 $AB=BA$；
• 对任意矩阵 $A$，$A^TA$ 与 $AA^T$ 都是对称矩阵。

最后一条可直接验证：

5. 反对称矩阵

若方阵 $A$ 满足

则称 $A$ 为反对称矩阵。等价地，$a_{ij}=-a_{ji}$。

令 $i=j$，可得 $a_{ii}=-a_{ii}$，所以实数域上反对称矩阵的主对角线元素必为 $0$。

常用结论：

• 同阶反对称矩阵的和、差仍反对称；
• $kA$ 仍反对称；
• 若 $A$ 反对称，则 $A^{2r}$ 对称，$A^{2r+1}$ 反对称。

因为

6. Python 与大模型计算中的对应

import numpy as np

A = np.array([[1., 2., 3.], [0., -1., 4.]])
AT = A.T

# 检查对称性；浮点计算不要直接使用 ==
S = AT @ A
print(np.allclose(S, S.T))

PyTorch 中，二维矩阵可以写 A.T；含 batch 维度的张量推荐写 A.mT 或 A.transpose(-2, -1)，只交换最后两个矩阵维度。

在大模型中，转置经常出现在批量矩阵乘法、注意力分数 $QK^T$、协方差/Gram 矩阵 $X^TX$ 中。需要始终同时检查：维度、乘法顺序、转置的是哪两个轴。